[論文レビュー] Quantum and Stochastic Branching Programs of Bounded Width

Farid Ablayev, Cristopher Moore+1 more|ArXiv.org|Jan 30, 2002

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、幅が有界な量子および確率的分岐プログラムの構文的モデルを導入し、幅2の量子分岐プログラムがNC¹に属するすべての言語を正確に認識できることを示している。これは、古典的モデルがNC¹ = ACCでない限り幅5を必要とするのに対し、顕著な優位性を示す。さらに、定数幅の有界誤差量子および確率的プログラムは、より大きなが有界な幅を持つ古典的プログラムによってシミュレート可能であり、その計算能力がNC¹に含まれることを示している。

ABSTRACT

In this paper we show that one qubit polynomial time computations are at least as powerful as $\NC^1$ circuits. More precisely, we define syntactic models for quantum and stochastic branching programs of bounded width and prove upper and lower bounds on their power. We show any $\NC^1$ language can be accepted exactly by a width-2 quantum branching program of polynomial length, in contrast to the classical case where width 5 is necessary unless $\NC^1=\ACC$. This separates width-2 quantum programs from width-2 doubly stochastic programs as we show the latter cannot compute the middle bit of multiplication. Finally, we show that bounded-width quantum and stochastic programs can be simulated by classical programs of larger but bounded width, and thus are in $\NC^1$. The change in the revised version is the addition of the syntactic condition.

研究の動機と目的

• 非一様計算のための、幅が有界な量子および確率的分岐プログラムの構文的モデルを定義・分析すること。
• 幅2の量子分岐プログラムの計算能力が古典的および確率的モデルと比べてどのように異なるかを調査すること。
• 有界誤差量子および確率的プログラムが、幅が有界な古典的決定的プログラムによってシミュレート可能かどうかを特定すること。
• 有界誤差下での低幅確率的プログラムの表現力にきわめて厳しい上限を確立すること。
• 特に積の中央ビットに関して、量子モデルと古典的確率的モデルの計算能力の違いを明確にすること。

提案手法

• すべての最終状態（整合的および非整合的）が、測度的分離を保証する独立した受容および拒否集合に分割される構文的モデルを導入し、有界誤差認識を実現する。
• 確率および振幅空間上での状態ベクトルと遷移行列を用いて、幅制約付きの量子および確率的分岐プログラムを定義する。
• L₁およびL₂距離の上限を適用して、受容状態分布と拒否状態分布の間の分離を分析し、区別可能な状態数に対する体積に基づく上限を導出する。
• k-1次単体のL₁直径および2k次球面上のL₂体積の議論を用いて、状態空間内に収まる半径2εまたはεの球の数の上限を求める。
• 有界誤差量子および確率的プログラムが定数幅で、測度的分離と状態空間体積制約を用いて、より大きなが有界な幅を持つ決定的プログラムによってシミュレート可能であることを証明する。
• バリンガトンの定理およびACCとNC¹に関する既知の結果を活用し、シミュレーション結果を古典的回路クラスに関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幅2の量子分岐プログラムは、多項式長でNC¹に属する任意の言語を正確に認識できるか？
• RQ2 幅2の量子プログラムと幅2の双対確率的プログラムの計算能力は、特に積の中央ビットに関してどのように異なるか？
• RQ3 定数幅の有界誤差量子および確率的分岐プログラムは、幅が有界な古典的決定的プログラムによってシミュレート可能か？
• RQ4 有界誤差下で幅が5未満の確率的分岐プログラムの限界は何か？ また、それらはACCに属する言語しか認識しないのか？
• RQ5 幅が有界な計算において、量子モデルと古典的確率的モデルの間には明確な分離があるか？

主な発見

• 多項式長の幅2量子分岐プログラムは、NC¹に属する任意の言語を正確に認識可能であり、このモデルでは1キュービットで十分にNC¹計算が可能であることを示している。
• 幅2の双対確率的分岐プログラムは、積の中央ビットを計算できない。これは、幅2量子プログラムとは明確な分離があることを証明している。
• 定数幅の有界誤差量子および確率的分岐プログラムは、より大きなが有界な幅を持つ決定的プログラムによってシミュレート可能であり、その計算能力がNC¹に含まれることを示している。
• 2-EQBP、2-BQBP、EQBP、BQBP、BSBP、BWBPの各構文的クラスはすべてNC¹に一致し、これらのモデルがNC¹に統合されることを示している。
• 確率的プログラムにおいて、ε > 1/8（幅2）、ε > 1/3（幅3）、またはε > 3/8（幅4）の場合、認識される言語はACCに属する。
• 誤差マージンε > 1/4の幅2確率的プログラムは、多数関数を計算できない。これは、有界誤差下でのその能力の限界を確認している。