[論文レビュー] Quantum Annealing for Prime Factorization

Shuxian Jiang, Keith A. Britt+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、補助変数を用いて高次結合を低減することで、整数の因数分解をイジングハミルトニアンにマッピングする、リソース効率の良い量子アニーリング手法を提示する。本手法は、15、143、59989、376289の因数分解をそれぞれ4、12、59、94の論理量子ビットで実現し、1回の実行で10,000回のサンプルを用いてD-Wave 2000Qプロセッサ上で実験的に検証された。ハードウェアのスケーリングに伴い、より大きな整数の因数分解の実現可能性が示された。

ABSTRACT

We have developed a framework to convert an arbitrary integer factorization problem to an executable Ising model by first writing it as an optimization function and then transforming the k-bit coupling ($k\geq 3$) terms to quadratic terms using ancillary variables. The method is efficient and uses $\mathcal{O}( ext{log}^2(N))$ binary variables (qubits) for finding the factors of integer $N$. The method was tested using the D-Wave 2000Q for finding an embedding and determining the prime factors for a given composite number. As examples, we present quantum annealing results for factoring 15, 143, 59989, and 376289 using 4, 12, 59, and 94 logical qubits respectively. The method is general and could be used to factor larger numbers

研究の動機と目的

• 整数の因数分解を、量子アニーリングに適したイジングハミルトニアンにマッピングする一般的でリソース効率の良い手法の開発。
• 補助量子ビットを用いて、因数分解問題における高次結合（k≥3）を二次項に還元し、現在の量子アニーラーでの実装を可能にする。
• D-Wave 2000Qプロセッサ上で、小さな整数について本手法の実験的妥当性を示すこと。
• より多くの量子ビットと高い精度を持つ量子ハードウェアが利用可能になるに伴い、より大きな整数のスケーラブルな因数分解を可能にする。
• RSAなどの実用的応用において、ノイズの多い因数分解アルゴリズムの効率を向上させるための事前処理フレームワークを提供すること。

提案手法

• 因数分解問題は、まず、因数のビットを表す2値変数の最小化関数として表現される。
• 乗算から生じる高次結合項（k≥3）が補助変数を用いて二次項に変換され、問題が二次イジングハミルトニアンに還元される。
• 量子ビット数を増加させずに係数の範囲を制限するための改良された乗算法が導入され、ハードウェアとの適合性が向上する。
• 得られたイジングハミルトニアンは、Cai、Macready、Royの確率的手法に基づくSAPI findembeddingアルゴリズムを用いて、D-Wave 20000Qのチメラグラフに埋め込まれる。
• 論理イジングパラメータが物理的バイアスおよび結合に変換され、標準のアニーリングスケジュールを用いてD-Wave 2000Q上で実行される。1回の実行で10,000回のサンプルが使用される。
• 測定された出力文字列は候補となる因数にデコードされ、エネルギー順位付けと因数検証により解が検証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小限の量子ビットオーバーヘッドで、整数の因数分解を量子アニーリングに適した二次イジングハミルトニアンに効率的にマッピングできるか？
• RQ2 因数分解ハミルトニアンにおける高次結合項（k≥3）を、量子ビット数の増加を伴わずに二次形式に低減する方法は何か？
• RQ3 本手法は、D-Wave 20000Qのような次世代量子アニーリングハードウェア上で実験的に実現可能か？
• RQ4 より大きな整数に対して、量子ビット数のスケーリングはどのようになるか？また、RSA-768の因数分解に必要なリソースは推定してどの程度か？
• RQ5 本手法は、古典的またはノイズの多い量子因数分解アルゴリズムの効率を向上させるための事前処理ツールとして機能できるか？

主な発見

• 本手法は、整数Nの因数分解にO(log²N)の論理量子ビットを用いる。これは、対数的リソース増加に伴うスケーラビリティを示している。
• 15の因数分解は、D-Wave 2000Q上でたった4つの論理量子ビットを用いて成功裏に実行され、高い確率で正しい因数に収束した。
• 143（12量子ビット）、59989（59量子ビット）、376289（94量子ビット）の因数分解が正しく実行され、問題サイズの増大に対しても正しさが確認された。
• RSA-768のためには約147,456量子ビットの必要が推定され、将来的なスケーリングへの実現可能性を示している。
• 本アルゴリズムはXACCフレームワークとSAPI統合を用いて実装され、1インスタンスあたり10,000回のアニーリング実行が行われ、結果の統計的信頼性を確保した。
• 本手法は一般性とハードウェア非依存性を備えており、同等の量子ビット数、接続性、パrameter精度を持つ任意の量子アニーラーに適用可能である。