[論文レビュー] Quantum arithmetic and numerical analysis using Repeat-Until-Success circuits

Nathan Wiebe, Martin Roetteler|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 5

ひとこと要約

本論文は、数をBloch球面上の回転角として符号化することで、乗算や逆数などの滑らかな関数の近似合成を可能にする、繰り返し成功を待つ（RUS）フレームワークを導入する。RUS回路を用い、たった3つのアーサリア・キュービットのみで、従来の可逆回路が同様のタスクに数百ものキュービットを必要とするのとは対照的に、顕著なキュービット削減を達成する。

ABSTRACT

We develop a method for approximate synthesis of single--qubit rotations of the form $e^{-i f(\\phi_1,\\ldots,\\phi_k)X}$ that is based on the Repeat-Until-Success (RUS) framework for quantum circuit synthesis. We demonstrate how smooth computable functions $f$ can be synthesized from two basic primitives. This synthesis approach constitutes a manifestly quantum form of arithmetic that differs greatly from the approaches commonly used in quantum algorithms. The key advantage of our approach is that it requires far fewer qubits than existing approaches: as a case in point, we show that using as few as $3$ ancilla qubits, one can obtain RUS circuits for approximate multiplication and reciprocals. We also analyze the costs of performing multiplication and inversion on a quantum computer using conventional approaches and find that they can require too many qubits to execute on a small quantum computer, unlike our approach.

研究の動機と目的

• 従来の可逆回路が量子算術において高いキュービットオーバーヘッドを生じる問題に対処すること。
• 小規模な量子コンピュータ上で乗算や逆数といった基本関数を効率的に実装すること。
• 結果をキュービット状態ではなく回転角として符号化する、明示的な量子算術アプローチの開発。
• 実用的な量子アルゴリズムにおけるTゲート数と全体の回路深さを低減すること。
• RUSベースの合成が、最小限のアーサリア・キュービットで高精度の算術を達成できることを示すこと。

提案手法

• 測定に基づくフィードバックを用いて、ユニタリ回転 e−if(φ1,…,φk)X を確率的に実装する繰り返し成功（RUS）パラダイムを用いる。
• 入力値 φ1,…,φk を単一キュービット回転 e−iφjX として符号化し、数をBloch球面上の角度として表現する。
• 乗算や逆数などの滑らかな関数 f を、制御回転と測定誘発補正を用いて合成する2つの基本的プリミティブを採用する。
• 検出可能な失敗はクリフォード回路によって補正され、誤り耐性の動作と繰り返しの成功を保証する。
• 主なコスト指標としてTゲート数を最小化し、効率的で低深さの回路を優先する。
• f(φ1,…,φk) のキュービット表現が必要な場合は、振幅推定または位相推定を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 RUSベースの回路は、可逆回路よりもはるかに少ないキュービットで高精度の量子算術を達成できるか？
• RQ2 RUSを用いて近似乗算と逆数を実装する際に、必要な最小のアーサリア・キュービット数は何か？
• RQ3 RUSベースの算術のTゲート数は、従来のアプローチと比較してリソース効率に優れているか？
• RQ4 測定に基づくフィードバックと角度符号化された入力のみを用いて、滑らかな関数（例：逆数）を効率的に合成できるか？
• RQ5 RUSベースの算術は、量子線形系や関連アルゴリズムにおいて、どの程度キュービットオーバーヘッドを低減できるか？

主な発見

• わずか3つのアーサリア・キュービットで、RUSフレームワークは高精度な近似乗算と逆数を実装できる。
• 従来の可逆回路が数百ものキュービットを要するのに対し、本手法は数個のキュービットにまで削減され、小規模な量子コンピュータでの実行が可能になる。
• Tゲート数は低く保たれ、誤り耐性量子計算にとって効率的なアプローチである。
• 結果を回転角として符号化することで、大規模なアーサリアレジスタの必要性を回避し、明示的な量子算術を実現する。
• 量子線形系やデータフィッティングといった主要な量子アルゴリズムと互換性があり、出力を回転形式で提供する必要がある。
• 特にニュートン法の逆数計算のような関数において、従来のアプローチに比べてキュービット効率が顕著に優れている。