[論文レビュー] Quantum Arthur-Merlin Games

Chris Marriott, John Watrous|ArXiv.org|Jun 15, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、アーチャーが公開ランダムネスを使用し、メルリンが量子メッセージを送信する古典的インタラクティブ証明システムの量子版である量子アーチャー・メルリンゲームを導入する。1メッセージの量子アーチャー・メルリンゲーム（QMA）における誤りを、メッセージ長を増加させずに指数的に低減できることを証明し、QMA ⊆ PP および対数長の量子証明書が BQP よりも計算能力を向上させないという重要な結果が得られる。

ABSTRACT

This paper studies quantum Arthur-Merlin games, which are Arthur-Merlin games in which Arthur and Merlin can perform quantum computations and Merlin can send Arthur quantum information. As in the classical case, messages from Arthur to Merlin are restricted to be strings of uniformly generated random bits. It is proved that for one-message quantum Arthur-Merlin games, which correspond to the complexity class QMA, completeness and soundness errors can be reduced exponentially without increasing the length of Merlin's message. Previous constructions for reducing error required a polynomial increase in the length of Merlin's message. Applications of this fact include a proof that logarithmic length quantum certificates yield no increase in power over BQP and a simple proof that QMA is contained in PP. Other facts that are proved include the equivalence of three (or more) message quantum Arthur-Merlin games with ordinary quantum interactive proof systems and some basic properties concerning two-message quantum Arthur-Merlin games.

研究の動機と目的

• アーチャーが公開ランダムネスを使用し、メルリンが量子メッセージを送信する量子アーチャー・メルリンゲームを形式化し、古典的 AM 複雑性を量子ドメインに拡張すること。
• アーチャーのメッセージが一様に生成されたランダムビットに制限される条件下で、量子インタラクティブ証明システムのパワーと構造を調査すること。
• QMA における誤り低減問題を解決し、完全性誤りと妥当性誤りの両方を、メルリンの量子メッセージ長を増加させずに指数的に低減できることを示すこと。
• QMA ⊆ PP および複数メッセージの量子アーチャー・メルリンゲームと量子インタラクティブ証明システムとの間の新しい関係を確立すること。
• 誤り低減の結果が量子証明書のパワーおよび BQP と QMA 間の関係に与える影響を検討すること。

提案手法

• アーチャーのメッセージが公開ランダムビットである量子インタラクティブ証明システムとして量子アーチャー・メルリンゲームを定義し、メルリンが量子状態を送信可能とする。
• 量子状態の類似度と Fuchs-van de Graaf 不等式を用いて、1メッセージプロトコルにおける妥当性誤りを評価し、量子操作および混合状態行列の性質を活用する。
• QMAM（3メッセージの量子アーチャー・メルリンゲーム）における並列反復プロトコルを構築し、既知の量子インタラクティブ証明システムの結果に依拠して、妥当性誤りを指数的に低減する。
• 任意の多項式メッセージの量子アーチャー・メルリンゲームが、3メッセージの量子インタラクティブ証明に並列化可能であることを示し、3メッセージの量子アーチャー・メルリンゲームと同等の計算パワーを持つことを証明する。
• 誤り低減技術を適用し、任意の多項式 r に対して QIP = QMAM(1, 2^(-r)) が成り立つことを証明し、QIP が指数的に小さな誤りを持つ1メッセージの量子アーチャー・メルリンゲームでシミュレート可能であることを示す。
• 量子証明者モデルを用いて、対数長の量子証明書が BQP の計算能力を向上させないことを示し、メッセージサイズの拡大なしに誤りを低減可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1メッセージの量子アーチャー・メルリンゲーム（QMA）における誤りを、メルリンの量子メッセージ長を増加させずに指数的に低減できるか？
• RQ2 QMA が AM に含まれない、または QAM が PH に含まれないようなオракルが存在するか。これにより BQP 対 PH の関係が明確化されるか？
• RQ3 『ほぼ-NP = AM』の量子版、すなわち『ほぼ-QMA = QAM』は成り立つか？
• RQ4 3メッセージ以上（3以上）の量子アーチャー・メルリンゲームは、3メッセージの量子インタラクティブ証明システムと同等の計算パワーを持つか？
• RQ5 本論文で開発した誤り低減技術を用いて、QMA ⊆ PP を示せるか？

主な発見

• QMA における誤りは、メルリンの量子メッセージ長を増加させずに指数的に低減可能であり、従来の構成が多項式的なメッセージ成長を要していたという主な制限を解決した。
• QMA は PP に含まれる。これは、QMA における指数的誤り低減に依拠する簡単な証明により確立された。
• 対数長の量子証明書は、誤り低減がメッセージサイズの拡大なしに可能であるため、BQP を超える計算能力を付与しない。
• 3メッセージ以上（3以上）の量子アーチャー・メルリンゲームは、並列化技術により3メッセージの量子インタラクティブ証明システムと同等の計算パワーを持つ。
• 任意の言語 L ∈ QIP に対して、完全性が1で、妥当性誤りが任意の多項式 r に対して 2^(-r) である3メッセージの量子アーチャー・メルリンゲームが存在し、QIP = QMAM(1, 2^(-r)) が成り立つ。
• QMAM プrotocol において、並列反復による妥当性誤りは指数的に減少する。これは、メルリンが反復間でもつれ戦略を用いても利点を得られないことによる。