[論文レビュー] Quantum asymptotic spectra of graphs and non-commutative graphs, and quantum Shannon capacities

Yinan Li, Jeroen Zuiddam|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2018

Graph theory and applications参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、量子およびエンタングルメント支援付きホモオモルフィズムの下で、グラフおよび非可換グラフの量子漸近的スペクトルを導入することにより、グラフの漸近的スペクトル理論を量子設定に拡張する。量子シャノン容量を上界付ける、分数的実数および複素数のヘーマース上限が量子漸近的スペクトルのスペクトル点であることが証明され、量子シャノン容量とローヴァス・シータ関数が一致しないことが示され、量子情報理論における2つの長年の予想を反証する。

ABSTRACT

We study quantum versions of the Shannon capacity of graphs and non-commutative graphs. We introduce the asymptotic spectrum of graphs with respect to quantum and entanglement-assisted homomorphisms, and we introduce the asymptotic spectrum of non-commutative graphs with respect to entanglement-assisted homomorphisms. We apply Strassen's spectral theorem (J. Reine Angew. Math., 1988) in order to obtain dual characterizations of the corresponding Shannon capacities and asymptotic preorders in terms of their asymptotic spectra. This work extends the study of the asymptotic spectrum of graphs initiated by Zuiddam (Combinatorica, 2019) to the quantum domain. We then exhibit spectral points in the new quantum asymptotic spectra and discuss their relations with the asymptotic spectrum of graphs. In particular, we prove that the (fractional) real and complex Haemers bounds upper bound the quantum Shannon capacity, which is defined as the regularization of the quantum independence number (Mančinska and Roberson, J. Combin. Theory Ser. B, 2016), and that the fractional real and complex Haemers bounds are elements in the quantum asymptotic spectrum of graphs. This is in contrast to the Haemers bounds defined over certain finite fields, which can be strictly smaller than the quantum Shannon capacity. Moreover, since the Haemers bound can be strictly smaller than the Lovász theta function (Haemers, IEEE Trans. Inf. Theory, 1979), we find that the quantum Shannon capacity and the Lovász theta function do not coincide. As a consequence, two well-known conjectures in quantum information theory cannot both be true.

研究の動機と目的

• 量子およびエンタングルメント支援付きホモオモルフィズムを含む量子設定におけるストラッセンの漸近的スペクトル理論を拡張すること。
• 量子およびエンタングルメント支援付きコホモオモルフィズムの前置順序の下でのグラフおよび非可換グラフの漸近的スペクトルを定義し、特徴づけること。
• 量子シャノン容量とスペクトル点、特にヘーマース上限との双対性を調査すること。
• 量子シャノン容量、ローヴァス・シータ関数、およびエンタングルメント支援付きゼロエラー容量の関係に関する未解決の問題を解明すること。
• 量子シャノン容量とローヴァス・シータ関数が等しくないことを示し、量子情報理論における2つの中心的予想を無効にすること。

提案手法

• ストラッセンのスペクトル定理を適用し、漸近的スペクトルを通じて量子シャノン容量の双対的特徴づけを定義すること。
• 量子およびエンタングルメント支援付きホモオモルフィズムに関するグラフの漸近的スペクトルを導入すること。
• エンタングルメント支援付きコホモオモルフィズムの前置順序の下での非可換グラフの漸近的スペクトルを定義すること。
• 半定値計画法および作用素空間技法を用いて、エンタングルメント支援付き独立集合およびコホモオモルフィズムを分析すること。
• 分数的実数および複素数のヘーマース上限がグラフの量子漸近的スペクトルの要素であることを証明すること。
• 上限とスペクトル点を比較することで、量子シャノン容量がローヴァス・シータ関数と等しくないことを確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 漸近的スペクトル理論は、グラフ理論における量子ホモオモルフィズムおよびエンタングルメント支援付き設定に拡張可能か？
• RQ2 分数的実数および複素数のヘーマース上限は、グラフの量子漸近的スペクトルのスペクトル点か？
• RQ3 量子シャノン容量はローヴァス・シータ関数と一致するか、それとも厳密に異なるか？
• RQ4 量子シャノン容量がそれと異なる場合、エンタングルメント支援付きゼロエラー容量がローヴァス・シータ関数と等しくなることは可能か？
• RQ5 有限体上のヘーマース上限は量子シャノン容量との関係において果たす役割は何か？

主な発見

• 分数的実数および複素数のヘーマース上限は、グラフの量子漸近的スペクトルの要素であり、量子シャノン容量を上界付けるスペクトル点を提供する。
• 量子シャノン容量はローヴァス・シータ関数よりも厳密に小さい。これは、ヘーマース上限がシータ関数よりも厳密に小さいグラフが存在することによって示された。
• 量子シャノン容量とローヴァス・シータ関数は一致しない。これは、エンタングルメント支援付きゼロエラー容量がローヴァス・シータ関数と一致し、かつ最大にエンタングルされた状態が容量達成に十分である、という2つの主張が同時に成り立たないことを意味する。
• 有限体上のヘーマース上限は、量子シャノン容量よりも厳密に小さくなることがある。これは、このような上限が量子漸近的スペクトルのスペクトル点ではないことを示している。
• 非可換グラフにおける支援なしのコホモオモルフィズムの前置順序は、ストラッセンの前置順序の性質を満たさない。これに対してエンタングルメント支援付きの対応はその性質を満たすため、支援なしの場合は双対的特徴づけが制限される。
• エンタングルメント支援付き設定ではトランスミッションが可能となり、古典的チャネルが1 qubitでさえも伝送できないという制限を克服できる。これは、エンタングルメント支援付き前置順序が必要なストラッセンの性質を満たす理由を説明する。