[論文レビュー] Quantum Cohomology and Crepant Resolutions: A Conjecture

Tom Coates, Yongbin Ruan|ArXiv.org|Oct 31, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 38

ひとこと要約

本稿では、Gorenstein軌道的 $\mathcal{X}$ の量子コホモロジーとそのcrepant解体 $Y$ の量子コホモロジーとの間の関係を、それぞれの量子コホモロジーのGiventalラグランジュ部分多様体の間の線形シンプレクティック同型写像によって結ぶ予想を提示する。この予想は、量子パラメータの解析接続を経て、量子コホモロジー構造の同型を示し、Ruan や Bryan–Graber の以前の予想を統一的かつ一般化する。さらに、量子化されたバージョンにより、高 genus 不変量への応用が可能となる。

ABSTRACT

We give an expository account of a conjecture, developed by Coates--Corti--Iritani--Tseng and Ruan, which relates the quantum cohomology of a Gorenstein orbifold X to the quantum cohomology of a crepant resolution Y of X. We explore some consequences of this conjecture, showing that it implies versions of both the Cohomological Crepant Resolution Conjecture and of the Crepant Resolution Conjectures of Ruan and Bryan--Graber. We also give a "quantized" version of the conjecture, which determines higher-genus Gromov--Witten invariants of X from those of Y.

研究の動機と目的

• Gorenstein軌道的 $\mathcal{X}$ の量子コホモロジーとその $\mathcal{X}$ のcrepant解体 $Y$ の量子コホモロジーとの間の一般的予想を定式化すること。
• この予想が、適切な条件下で、コホモロジー的crepant解体予想、Ruanの予想、Bryan–Graberの予想のバージョンを含意することを示すこと。
• 高 genus Gromov–Witten 不変量の $\mathcal{X}$ と $Y$ の関係を記述する、予想の「量子化」されたバージョンを構築すること。
• Giventalのラグランジュ錐形式論を用いて、解析接続とシンプレクティック同型写像を通じて、量子コホモロジー構造を符号化・比較する枠組みを確立すること。

提案手法

• シンプレクティックベクトル空間内に、$\mathcal{X}$ と $Y$ のそれぞれの genus-zero Gromov–Witten 不変量を、ラグランジュ部分多様体 $\mathcal{L}_{\mathcal{X}} \subset \mathcal{H}_{\mathcal{X}}$ および $\mathcal{L}_{Y} \subset \mathcal{H}_{Y}$ の形で符号化すること。
• ラグランジュ錐の解析接続後に、$\mathbb{U}(\mathcal{L}_{\mathcal{X}}) = \mathcal{L}_{Y}$ を満たす線形シンプレクティック同型写像 $\mathbb{U}: \mathcal{H}_{\mathcal{X}} \to \mathcal{H}_{Y}$ の存在を予想すること。
• Givental形式論を用いて、法線束と $J$-関数を通じて、ラグランジュ錐から量子コホモロジーを抽出すること。
• トポロジカルな再帰関係とストリング方程式を適用し、関連するパラメータ領域におけるdescendant生成関数の正則性を証明すること。
• 収束仮定の下で、正則係数を持つ量子微分方程式の解を通じて、量子不変量の正則性を確立すること。
• 高 genus 不変量への応用のために、$\mathcal{X}$ と $Y$ の高 genus 不変量の生成関数を関係付ける、予想の量子化されたバージョンに拡張すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gorenstein軌道的 $\mathcal{X}$ の量子コホモロジーは、そのcrepant解体 $Y$ のそれとどのように関係するか？
• RQ2 $\mathcal{X}$ と $Y$ のラグランジュ錐の間の予想されるシンプレクティック同型写像は、Ruan や Bryan–Graber の既知の予想を回復できるか？
• RQ3 解析接続は、軌道的と解体幾何の間の量子コホモロジー構造を結ぶ上で、果たす役割は何か？
• RQ4 高 genus Gromov–Witten 不変量の $\mathcal{X}$ は、予想の量子化されたバージョンを用いて、$Y$ の不変量からどのように再構成できるか？
• RQ5 $\mathcal{X}$ と $Y$ のdescendant生成関数が正則となるパラメータ領域は何か？また、この正則性は予想をどのように支援するか？

主な発見

• この予想は、解析接続を経て、軌道的と解体された量子コホモロジーの間の同型を示す、コホモロジー的crepant解体予想のバージョンを含意する。
• この予想は、Ruanの小量子コホモロジーに関する予想を含意し、量子パラメータの特殊化と解析接続の後で同型が成立することを示す。
• この予想は、Bryan–Graberの予想の洗練されたバージョンを含意し、大量子コホモロジー代数とそれらの双線形形式が線形同型写像で一致することを示す。
• 収束仮定 2.1 の下で、$\mathcal{F}^{0}_{\mathcal{X}}$ は $\mathbb{C}^s$ 上の $\tau_{0,1},\ldots,\tau_{0,s}$ に関して正則であることが示された。
• $\mathcal{F}^{0}_{Y}$ は、$|t_{0,i}| < \infty$ および $i > s$ に対して $|Q_i e^{t_{0,i}}| < R_i$ を満たす領域で、$t_{0,1},\ldots,t_{0,r}$ および $Q_{s+1},\ldots,Q_r$ に関して正則である。
• トポロジカルな再帰関係、ストリング方程式、および収束仮定の下で量子微分方程式が正則係数を持つという事実を用いて、Gromov–Witten 不変量の正則性が確立された。