[論文レビュー] Quantum cohomology of projective bundles over P^n

Zhenbo Qin, Yongbin Ruan|ArXiv.org|Jul 2, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、有理曲線のモジュライ空間が期待される次元を持たないという課題を、余剰交差理論を用いて克服することで、$\mathbb{P}^n$ 上の射影バンドルの量子コホモロジー環を計算する。アーマンバンドル $V$ が特定の数値的条件を満たす場合、量子コホモロジーはハイパーフラット類とタウトロジカル類によって生成され、量子パラメータを含む変形された関係式を持つことが示され、Gromov-Witten 不変量と Mori 錐の解析を用いて、環構造を明示的に決定する。

ABSTRACT

In this paper, we attempt to determine the quantum cohomology of projective bundles over the projective space P^n. In contrast to the previous examples, the relevant moduli spaces in our case frequently do not have expected dimensions. It makes the calculation more difficult. We overcome this difficulty by using excessive intersection theory.

研究の動機と目的

• モジュライ空間の有理曲線が期待される次元を持たないことがある、$\mathbb{P}^n$ 上の射影バンドルの量子コホモロジー環を計算すること。
• 余剰交差理論を用いて、モジュライ空間が期待される次元を持たないという困難を克服すること。
• 量子補正が非自明に寄与するホモロジー類を同定し、Mori の極小ラジアルに由来するものに焦点を当てる。
• バンドル $V$ に数値的条件が課された場合に、射影バンドルの量子コホモロジー環の完全な表示を確立すること。
• 量子補正が2つの極小ラジアルにのみ由来することを検証し、Gromov-Witten 不変量を明示的に計算すること。

提案手法

• Siebert と Tian の定理を用いて、量子変形を通じて古典的コホモロジー関係式を量子コホモロジー環に持ち上げる。
• モジュライ空間が期待される次元を持たない場合に、Gromov-Witten 不変量を余剰交差理論を用いて計算する。
• Mori 錐の2つの極小ラジアル $R_1$ と $R_2$ を特定し、射影を通じてファイバー内の直線と $\mathbb{P}^n$ 内の直線に対応させる。
• 極小ラジアルに属する $A$ に対して、量子不変量 $\langle h, h^n, h^{n-1}\gamma^{r-1} \rangle_{0,A}$ と $\langle \gamma, h^n, h^{n-1}\gamma^{r-1} \rangle_{0,A}$ を計算する。
• $\mathbb{P}^n$ 内のインシデント幾何と接バンドル $T_{\mathbb{P}^n}$ を用いて、一般の部分多様体と交わる曲線を数える。
• $0 \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n} \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(1)^{\oplus(n+1)} \to T_{\mathbb{P}^n} \to 0$ の完全列を用いて、$\gamma$ を $\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^n$ 上の $(1,1)$-類に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $P(V)$ のどのホモロジー類が量子積に非自明な量子補正を寄与するか？
• RQ2 有理曲線のモジュライ空間が期待される次元を持たない場合、どのようにして量子コホモロジーを計算できるか？
• RQ3 バンドル $V$ に数値的条件が課された場合に、$\mathbb{P}^n$ 上の射影バンドルの量子コホモロジー環の完全な表示は何か？
• RQ4 量子補正は、$P(V)$ の Mori 錐の2つの極小ラジアルにのみ由来するか？
• RQ5 $P(T_{\mathbb{P}^n})$ の量子コホモロジーは、Gromov-Witten 不変量と余剰交差理論を用いて明示的に計算可能か？

主な発見

• 量子コホモロジー環 $H^*_!(P(V); \mathbb{Z})$ は $h$ と $\gamma$ によって生成され、関係式 $f_1!$ と $f_2!$ を持つ。
• 最初の量子関係式は $h^{n+1} = \gamma^r e^{-tn}$ であり、$t$ は量子パラメータである。
• 2番目の量子関係式は $\sum_{i=0}^n (-1)^i c_i h^i \gamma^{n-i} = (1 + (-1)^n) e^{-tn}$ であり、$c_i = \binom{n+1}{i}$ で、接バンドルに対して成り立つ。
• $P(T_{\mathbb{P}^n})$ に対しては、量子補正が2つの極小ラジアルによって完全に決定され、それ以上の寄与はない。
• インシデント幾何を用いた計算により、Gromov-Witten 不変量 $\langle h, h^n, h^{n-1}\gamma^{n-1} \rangle_{0,A_2} = 1$ が得られた。
• 計算により、2つの極小ラジアル $R_1$ と $R_2$ のみに量子補正が寄与し、それ以外のクラスでは量子補正が消えることが確認された。