[論文レビュー] Quantum Commuting Circuits and Complexity of Ising Partition Functions

Keisuke Fujii, Tomoyuki Morimae|Nov 9, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、瞬間的量子多項式時間（IQP）回路と虚数結合定数を伴うイジング分配関数の計算複雑性の間の直接的な関係を確立する。IQP出力確率をイジング分配関数に写像することで、著者らは、ほとんどすべての虚数結合定数において、これらの分配関数の乗法的近似が#P困難であることを示している——たとえ有界次数の平面格子上でも同様である。これは、IQPが特定の解ける場合を除き古典的には困難であることを示唆している。

ABSTRACT

Instantaneous quantum polynomial-time (IQP) computation is a class of quantum computation consisting only of commuting two-qubit gates and is not universal in the sense of standard quantum computation. Nevertheless, it has been shown that if there is a classical algorithm that can simulate IQP efficiently, the polynomial hierarchy (PH) collapses at the third level, which is highly implausible. However, the origin of the classical intractability is still less understood. Here we establish a relationship between IQP and computational complexity of the partition functions of Ising models. We apply the established relationship in two opposite directions. One direction is to find subclasses of IQP that are classically efficiently simulatable in the strong sense, by using exact solvability of certain types of Ising models. Another direction is applying quantum computational complexity of IQP to investigate (im)possibility of efficient classical approximations of Ising models with imaginary coupling constants. Specifically, we show that there is no fully polynomial randomized approximation scheme (FPRAS) for Ising models with almost all imaginary coupling constants even on a planar graph of a bounded degree, unless the PH collapses at the third level. Furthermore, we also show a multiplicative approximation of such a class of Ising partition functions is at least as hard as a multiplicative approximation for the output distribution of an arbitrary quantum circuit.

研究の動機と目的

• IQP計算における古典的困難性の原因を統計力学的モデルと結びつけることにより、その起源を明確にすること。
• 特定のイジングモデルの正確な可解性を用いて、古典的にシミュレート可能なIQPの部分集合を同定すること。
• 量子計算複雑性理論のツールを用いて、虚数結合定数を伴うイジング分配関数の近似の複雑性を調査すること。
• 量子の困難性結果を踏まえて、このような分配関数の効率的古典的近似が可能かどうかを特定すること。
• 古典的にシミュレート可能とされるIQPおよびイジングモデルのインスタンスと計算的に困難なインスタンスの境界を探索すること。

提案手法

• 出力確率の写像を用いて、IQP回路を虚数結合定数を伴うイジング分配関数に再定式化する。
• 磁場のない平面的イジングモデルの正確な可解性を活用して、古典的にシミュレート可能なIQPの部分集合を同定する。
• 後選択技術とpost-BQP = PP定理を用いて、単一キュービット回転を含むIQPが後選択のもとで普遍的であることを示す。
• 近似を保全する還元によるイジング分配関数の#P困難性を活用して、乗法的近似の困難性を証明する。
• 有界次数の平面格子上における虚数結合定数を伴うイジングモデルの複雑性を、量子複雑性理論的還元を用いて分析する。
• 加法的誤差を伴う量子アルゴリズムと既知の実数イジングモデルの結果と比較して、虚数イジング分配関数の近似の困難性を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 IQP回路と虚数結合定数を伴うイジング分配関数の計算複雑性の間にはどのような関係があるか？
• RQ2 どのIQPの部分集合が古典的にシミュレート可能であり、その可解性を可能にする構造的特徴は何か？
• RQ3 虚数結合定数を伴うイジング分配関数の乗法的近似は、古典的に容易か？
• RQ4 単一キュービット回転の存在が、IQP回路の古典的シミュレータビリティにどのように影響するか？
• RQ5 有界次数の平面格子上における虚数結合定数を伴うイジング分配関数の近似の複雑性は何か？

主な発見

• 単一キュービット回転を含まない平面IQP回路は、平面的イジングモデルの正確な可解性のおかげで、古典的にシミュレート可能である。
• 平面IQPに単一キュービット回転を追加すると、後選択のもとで普遍的となり、PP問題をシミュレート可能である。
• ほとんどすべての虚数結合定数において、虚数結合定数を伴うイジング分配関数の乗法的近似は#P困難である——たとえ有界次数の平面格子上でも同様である。
• この#P困難性は、同じ分配関数に対して効率的な加法的誤差量子アルゴリズムが存在するにもかかわらず成立する。
• 実数の強磁性または反強磁性の場合と比較して、虚数結合定数を伴うイジング分配関数の複雑性ははるかに高く、乗法的近似が容易である。
• 既知のFPRAS（確率的近似スケーリングアルゴリズム）とは対照的に、虚数結合定数のケースは極めて困難であることが浮き彫りになる。