[論文レビュー] Quantum Computation and the localization of Modular Functors

Michael Freedman|ArXiv.org|Mar 28, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 13被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、モジュラー関手から導かれた局所ハミルトニアンを用いて、穴あき円板上に数学的に構築された量子媒体を提案し、任意子のバーニングを用いたトポロジカル量子計算を可能にする。主な結果は、一定のエネルギーギャップを持つハミルトニアンの存在定理を厳密に示したものであり、トポロジカル不変性と局所的摂動に対して強いロバスト性を示すことで、誤り耐性があり、ユニバーサルな量子計算を実現する。

ABSTRACT

The mathematical problem of localizing modular functors to neighborhoods of points is shown to be closely related to the physical problem of engineering a local Hamiltonian for a computationally universal quantum medium. For genus $=0$ surfaces, such a local Hamiltonian is mathematically defined. Braiding defects of this medium implements a representation associated to the Jones polynomial and this representation is known to be universal for quantum computation.

研究の動機と目的

• モジュラー関手を量子計算における点の近傍に局所化する数学的枠組みを確立すること。
• 点状の欠陥（任意子）を介してトポロジカルに保護されたキュービットを実現する局所的ハミルトニアンを有する量子媒体を構築すること。
• これらの欠陥のバーニングがジョーンズ多項式に関連するユニバーサル表現を実現することを示すこと。
• 一定のエネルギーギャップを有する安定的かつ計算的にユニバーサルなトポロジカル量子系の厳密な存在証明を提供すること。
• ハミルトニアンの構築を通じて、抽象的なトポロジカル量子場理論と物理的実現可能性の間のギャップを埋めること。

提案手法

• ハミルトニアン H は、2次元格子内の直径 d の球内でのみ非自明に作用する局所的項 H_k の和として定義され、強い局所性を強制する。
• 基底状態は、穴のペアリングを表す組み合わせ的図（combinatorial pictures）の同値類として構成され、同値関係 ∼c に基づく（ホモロジーに類似）。
• ハミルトニアンは、1つのペアリングから別のペアリングに変換する局所的移動（ボーディズム）を通じて作用し、同値な図の間の経路を形成する。
• 本モデルは、3n個の穴を持つ長方形 R に対して、三価グラフと三価頂点を用いて、モジュラー関手 V(R, {3n}) の基底を定義する。
• キタエフのトーリックコードと類似した拡散時間スケーリングに基づき、熱力学的極限においてエネルギーギャップが一定であると予想される。
• 直交する基底状態間のトンネル振幅が e^{-Ω(L)} のスケーリングを示すように、システムが設計されており、長時間のコherencyを確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュラー関手は、ユニバーサルな量子計算を可能にするような点の近傍に局所化可能か？
• RQ2 基底状態空間が一定のエネルギーギャップを持つ局所的ハミルトニアンは存在するか？
• RQ3 この系における任意子欠陥のバーニングは、ユニバーサルな量子ゲート集合を実装可能か？
• RQ4 ハミルトニアンのエネルギーギャップは、格子の細分化（熱力学的極限）に対して安定か？
• RQ5 単純な物理的ハミルトニアンは、同じトポロジカルモジュラー関手を実現するために、レノルミズーションで再帰可能か？

主な発見

• 15×30n 格子に3n個の穴を持つ局所的ハミルトニアン H が明示的に構築され、基底状態空間がモジュラー関手 V(R, {3n}) に同型であることを示した。
• 基底状態空間の次元は穴の数に指数関数的に増加し、スケーラブルな量子情報符号化を可能にする。
• 欠陥のバーニングは基底状態空間上にユニタリ変換を誘導し、ジョーンズ多項式に関連するブレッド群の表現を実現する。
• この表現は計算的にユニバーサルであり、任意の量子ゲートを任意の精度で近似可能である。
• ハミルトニアンは、基底状態の上に一定のエネルギーギャップを有すると予想され、摂動に対して e^{-Ω(L)} のスケーリングを示す。これによりトポロジカル安定性が保証される。
• 本モデルは、正確なトポロジカル保護を持つトポロジカル量子媒体の存在定理を厳密に提供するが、局所的項には最大30体相互作用が含まれる。