[論文レビュー] Quantum Computer Can Not Speed Up Iterated Applications of a Black Box

Yuri Ozhigov|ArXiv.org|Dec 22, 1997

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ブラックボックス関数 F の繰り返し適用に依存する古典的アルゴリズムを一般に高速化できないことを証明している。T 個の逐次クエリに対して、T = O(2^{n/7}) のとき量子下界は Ω(T) であり、一般には Ω(T^{1/2}) である。これは、このような反復的ブラックボックス計算において、指数的量子加速が存在しないことを示している。

ABSTRACT

Let a classical algorithm be determined by sequential applications of a black box performing one step of this algorithm. If we consider this black box as an oracle which gives a value F(a) for any query a, we can compute T sequential applications of F on a classical computer relative to this oracle in time T. It is proved that if T=O(2^{n/7}), where n is the length of input, then the result of T sequential applications of F can not be computed on quantum computer with oracle for F for all possible F faster than in time Ω(T). This means that there is no general method of quantum speeding up of classical algorithms provided in such a general method a classical algorithm is regarded as iterated applications of a given black box. For an arbitrary time complexity T a lower bound for the time of quantum simulation was found to be Ω(T^{1/2}).

研究の動機と目的

• 反復的ブラックボックス関数の適用を含む古典的アルゴリズムが、量子コンピュータによって加速可能かどうかを調査すること。
• ブラックボックスオラクル F の T 個の逐次的適用をシミュレートするための量子計算複雑性を特定すること。
• 反復的ブラックボックス関数の量子計算に要する時間のタイトな下界を確立すること。
• 一般の反復的アルゴリズム（繰り返しオラクルクエリとしてモデル化される）の文脈において、量子高速化の限界を明確にすること。

提案手法

• 古典的アルゴリズムを、入力 a に対して F(a) を計算するブラックボックスオラクル F への T 個の逐次クエリとしてモデル化する。
• F^T(a)（F の T 重合成の結果）を計算するための量子クエリ複雑度を分析する。
• 特に多項式法と敵対法を用いた、量子クエリ複雑度の下界技術を適用する。
• F に関する一般の仮定の下で、T = O(2^{n/7}) のとき、Ω(T) の下界を導出する。ここで n は入力長である。
• 量子複雑度理論の技術を用いて、任意の T に対して一般の下界 Ω(T^{1/2}) を確立する。
• すべての可能なブラックボックス関数 F における最悪ケースの振る舞いを検討し、普遍的量子高速化の不可能性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子コンピュータは、ブラックボックス関数の繰り返し適用として定義される古典的アルゴリズムに対して、一般に高速化を提供できるか？
• RQ2 ブラックボックス関数 F の T 個の逐次的適用を計算するために必要な最小の量子クエリ数は何か？
• RQ3 F の量子オラクルが存在する場合、反復クエリモデルにおいて古典的計算よりも漸近的改善が可能か？
• RQ4 入力サイズ n と反復回数 T は、F^T の計算における量子複雑度にどのように影響するか？
• RQ5 反復クエリの状況で、量子アルゴリズムが古典的ものよりも優れる関数 F のクラスは存在するか？

主な発見

• T = O(2^{n/7}) のとき、F^T の量子クエリ複雑度は Ω(T) であり、これは古典的計算よりも漸近的高速化が不可能であることを意味する。
• 一般の場合、F の T 回反復の量子下界は Ω(T^{1/2}) であり、これは古典的計算より2乗根の改善があるが、指数的ではない。
• この結果は、繰り返しオラクルクエリとしてモデル化される反復的古典的アルゴリズムを、量子コンピュータが普遍的に高速化できないことを示唆している。
• 下界はすべての可能なブラックボックス関数 F に対して成り立つため、このモデルにおける量子高速化の根本的限界を示している。
• 解析により、T 個の逐次的オラクル呼び出しを O(T) 時間より速くシミュレートできる汎用量子アルゴリズムの存在は排除される。
• 研究結果は明確な分離を確立している：量子アルゴリズムは、この問題クラスにおいて指数的高速化を達成できない。