[論文レビュー] Quantum Computing and Hidden Variables II: The Complexity of Sampling Histories

Scott Aaronson|ArXiv.org|Aug 19, 2004

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 17被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、隠れ変数理論における隠れ変数の全履歴へのアクセスを許可することで、量子計算を拡張する新しい計算モデル、DQP（動的量子多項式時間）を導入する。『同一性への無関心』公理のもとで、DQPは多項式時間にグラフ同型性問題と近似短いベクトル問題を効率的に解き、N個のアイテムを含むデータベースをO(N^{1/3})クエリで探索する（GroverのO(N^{1/2})より速い）が、NP完全問題を解くことはできない。これはDQPがBQPより厳密に強力であるが、依然として限界があることを示している。

ABSTRACT

This paper shows that, if we could examine the entire history of a hidden variable, then we could efficiently solve problems that are believed to be intractable even for quantum computers. In particular, under any hidden-variable theory satisfying a reasonable axiom called "indifference to the identity," we could solve the Graph Isomorphism and Approximate Shortest Vector problems in polynomial time, as well as an oracle problem that is known to require quantum exponential time. We could also search an N-item database using O(N^{1/3}) queries, as opposed to O(N^{1/2}) queries with Grover's search algorithm. On the other hand, the N^{1/3} bound is optimal, meaning that we could probably not solve NP-complete problems in polynomial time. We thus obtain the first good example of a model of computation that appears slightly more powerful than the quantum computing model.

研究の動機と目的

• 隠れ変数理論における隠れ変数の全履歴をサンプリングできるモデルの計算パワーを調査すること。
• このようなアクセスが、標準的量子計算よりも計算的利点をもたらすかどうかを特定すること。
• DQPと呼ばれる複雑度クラスを同定し、BQPおよび他の既知の複雑度クラスと比較すること。
• 履歴モデルにおけるクエリ複雑度の下界を確立する、特にデータベース探索に関して。
• ボーム力学のような物理理論のシミュレーションに及ぼす影響を検討すること。

提案手法

• 隠れ変数の全履歴をサンプリングできるモデルを用いて多項式時間で解ける問題の集合として定義される、新しい複雑度クラスDQPを導入する。
• 物理的に妥当な公理である『同一性への無関心』を採用し、これにより隠れ変数の力学が自明な恒等操作に依存しないことを保証する。
• Bennettらのハイブリッド論法を用いて、マークされたアイテムの位置が異なる場合の履歴間のトレース距離をバウンディングし、クエリ複雑度の下界を導出する。
• フローテーリー（FT）をシミュレートする古典的指数時間アルゴリズムを構築し、DQP ⊆ EXPを示す。
• 既知のSZKとBQPの間のオракル分離を活用して、オラクルの下でDQPがBQPより厳密に強いことを確立する。
• ユニタリ発展ステップにわたる隠れ変数の軌道を追跡するプロトコルを構築することで、O(N^{1/3})クエリでデータベース探索が十分であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 隠れ変数理論における隠れ変数の全履歴をサンプリングすることは、標準的量子計算よりも計算速度向上をもたらすか？
• RQ2 DQPモデルはBQPより厳密に強力であるか？ もしそうなら、どのような物理的仮定の下でそうなるか？
• RQ3 DQPモデルにおけるN個のアイテムを含むデータベース探索のクエリ複雑度は何か？ そしてO(N^{1/3})は最適か？
• RQ4 DQPモデルは、BQPに属するとは知られていないが、SZKに属する問題（例：グラフ同型性や近似短いベクトル問題）を効率的に解けるか？
• RQ5 ボーム力学をDQPフレームワーク内でシミュレートすることは可能か？ また、『同一性への無関心』公理はこのプロセスにおいてどのような役割を果たすか？

主な発見

• 『同一性への無関心』公理のもとで、DQPモデルはグラフ同型性問題と近似短いベクトル問題を多項式時間で解ける。
• DQPモデルはO(N^{1/3})クエリのデータベース探索複雑度を達成し、これはGroverのO(N^{1/2})および古典的最適のO(N)の境界を上回る。
• ハイブリッド論法により、マークされたアイテムの位置の変化を検出するためにΩ(N^{1/3})の計算ステップが必要であることが示され、O(N^{1/3})のクエリ境界が最適であることが証明された。
• あるオラクルの下でNPがDQPに含まれないことが示され、DQPがNP完全問題を効率的に解けないことが示された。
• SZK ⊆ DQPであることと、SZKとBQPの間の既知のオラクル分離を組み合わせることで、オラクルの下でDQPがBQPより厳密に強いことが示された。
• このモデルは、NPをPに縮退させないが、量子計算よりもわずかに強力な計算モデルの、独立的に動機づけられた最初の例を提供する。