[論文レビュー] Quantum conditional entropy for infinite-dimensional systems

А. А. Кузнецова|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2010

Quantum Information and Cryptography参考文献 7被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、相対エントロピーと純化を用いて、無限次元量子系における量子条件付きエントロピーの厳密な定義を確立し、単調性、凹性、部分加法性といった主要な性質を一般化する。中心的な貢献は、有限エントロピーの条件下でこれらの性質が成り立つことを証明し、有限次元量子情報理論を連続変数系へと拡張することにある。

ABSTRACT

In this paper a general definition of quantum conditional entropy for infinite-dimensional systems is given based on recent work of Holevo and Shirokov arXiv:1004.2495 devoted to quantum mutual and coherent informations in the infinite-dimensional case. The properties of the conditional entropy such as monotonicity, concavity and subadditivity are also generalized to the infinite-dimensional case.

研究の動機と目的

• 有限次元から無限次元量子系への量子条件付きエントロピーの概念の拡張を図ること。
• 特にボーズ型ガウス過程に対して関連性の高い、連続変数系における条件付きエントロピーの一般的な定義の欠如に応えること。
• 条件付きエントロピーの基本的性質である単調性、凹性、部分加法性を無限次元設定へ一般化すること。
• 適切な収束条件の下で、有限次元量子情報理論における既知の結果と整合することを保証すること。
• 有界でないヒルベルト空間をもつ系における量子チャネルおよび相関の解析の基盤を提供すること。

提案手法

• 相対エントロピーを用いた条件付きエントロピーの定義：$ H(C|A) = H(\rho_C) - H(\rho_{AC} \| \rho_A \otimes \rho_C) $、ここで $ H(\cdot\|\cdot) $ は量子相対エントロピーである。
• 状態の純化とスティンゲープ拡張を用い、$ I_c(\rho_{AB}, \mathrm{Tr}_B) = -H(C|A) $ を通じて条件付きエントロピーと整合情報の関係を確立する。
• 無限次元における相対エントロピーおよびフォン・ノイマンエントロピーの理論に依拠し、下方連続性および支配収束定理を用いる。
• 有限ランク射影 $ P_n^A, P_k^B $ を用いて無限次元状態を近似し、エントロピーおよび相対エントロピー項の収束を証明する。
• 近似を用いた性質の証明：有限次元状態の系列 $ \rho_{AB}^{nk} $ が元の状態に収束し、与えられた条件下でエントロピー式が収束することを示す。
• ホーレォとシュロコフ [3] の整合情報および相対エントロピーの単調性に関する結果を応用し、主要な不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元量子系における量子条件付きエントロピーをどのように厳密に定義できるか？
• RQ2 単調性、凹性、部分加法性といった条件付きエントロピーの基本的性質が無限次元の場合に成り立つのか？
• RQ3 無限次元近似の極限において、エントロピーおよび相対エントロピー式の収束を保証する条件は何か？
• RQ4 条件付きエントロピーは連続変数系における整合情報および相互情報とどのように関係するか？
• RQ5 無限次元系の状態空間において、条件付きエントロピーがどのような条件下で連続的か？

主な発見

• 相対エントロピーと純化を用いて、無限次元系における量子条件付きエントロピー $ H(C|A) $ の一般定義が確立された。
• 単調性 $ H(A|BC) \leq H(A|B) $ が成り立つことが証明され、部分トレースにおける相対エントロピーの単調性から導出された。
• 関数 $ H(A|B) $ は状態 $ \rho_{AB} $ に関して凹的であることが示され、有限ランク射影による近似と収束定理を用いた。
• 部分加法性 $ H(AB|CD) \leq H(A|C) + H(B|D) $ が成り立つことが示され、有限次元での部分加法性と近似による収束から導出された。
• 周辺エントロピーが連続な集合上で条件付きエントロピーが連続であることが示され、純化および整合情報の収束を用いた。
• 状態 $ \rho_C $ のエントロピーが有限のとき、恒等式 $ H(C|A) + H(C|B) = 0 $ が成り立つことが示され、有限次元における条件付きエントロピーの双対性が一般化された。