[論文レビュー] Quantum Correlations in Field Theory and Integrable Systems

Stefano Evangelisti|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Quantum many-body systems参考文献 114被引用数 3

ひとこと要約

本学位論文は、八頂点模型のバクスター解を用いて、XYZスピン鎖におけるもつれエントロピーの正確な解析的導出を提示し、量子もつれとモジュラー形式の間の関係を確立する。臨界領域におけるもつれエントロピーの非ユニバーサルな対数補正を明らかにし、ヴァン・ネウマンおよびRényiエントロピーの正確な表現式をテータ関数を用いて与え、さまざまな結合定数領域におけるDMRG数値データと一致する。

ABSTRACT

In this PhD thesis we investigate some properties of one-dimensional quantum systems, focusing on two important aspects of integrable models: Their entanglement properties at equilibrium and their dynamical correlators after a quantum quench. The first part of the thesis will therefore be devoted to the study of the entanglement entropy in one-dimensional integrable systems, with a special focus on the XYZ spin-1/2 chain, which, in addition to being integrable, is also an interacting theory with non perturbative solutions. We derive its bipartite Renyi entropies in the thermodynamic limit and its behaviour in different phases and for different values of the mass-gap is analysed, both analytically and numerically. In particular it is worth mentioning that the numerical analysis of the entropies of the XYZ model presented in this dissertation has never been published in literature. In the second part of the thesis we study the dynamics of correlators after a quantum quench, preparing the system in a squeezed coherent initial state. The emphasis will be on the Transverse Field Ising Chain and the O(3) non-linear sigma model, the latter studied by means of the semi-classical theory, the former by a form-factor approach. Moreover in the last chapter we outline a general result about the dynamics of correlation functions of local observables after a quantum quench. In particular we show that if there are not long-range interactions in the final Hamiltonian, then the dynamics of the model at long times (non equal- time correlations) is described by the same statistical ensemble that describes its statical properties (equal-time correlations). For the Transverse Field Ising Chain this result means that its dynamics is described by a Generalized Gibbs Ensemble.

研究の動機と目的

• 八頂点模型のバクスタ―解を用いて、可解なXYZスピン鎖におけるもつれエントロピーの正確な表現式を導出すること。
• XYZモデルの臨界および非臨界領域における量子相関の構造を分析すること。
• 束縛状態および自由励起状態の存在下でのもつれエントロピーに対する異常な対数補正を同定および特徴付けること。
• 可解場理論の文脈において、もつれエントロピーとテータ関数上のモジュラー群作用との間の関係を確立すること。
• 相図内の異なる結合経路にわたり、大規模なDMRG数値シミュレーションと照合して解析的結果を検証すること。

提案手法

• 八頂点模型のバクスタ―解を用いて、XYZスピン鎖を相関関数が既知な可解な格子模型に写像する。
• 熱力学的極限における縮退密度行列およびもつれエントロピーの計算にコーナー転送行列法を用いる。
• モジュラー変換および楕円関数のパrametrizationを介して、ヴァン・ネウマンおよびRényiエントロピーをヤコビのテータ関数で表現する。
• モジュラー群作用を適用して、相図の異なる領域にわたる解の解析的接続を実行する。
• スケーリング極限を適用して、臨界およびギャップを持つ相におけるもつれエントロピーのユニバーサルおよび非ユニバーサル補正を抽出する。
• 相関関数の並列化された数値実装を用いて、有限サイズのDMRGデータを無限大サイズに外挿した結果と照合して、解析的予測を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 XYZスピン鎖における量子相関は、全相図にわたる正確なもつれエントロピーの観点からどのように現れるか？
• RQ2 XYZモデルにおけるもつれエントロピーの非ユニバーサルな対数補正の起源と構造は何か？
• RQ3 モジュラー変換およびテータ関数は、可解場理論におけるもつれ構造をどのように記述するか？
• RQ4 束縛状態および自由励起状態は、臨界点付近でのもつれエントロピーのスケーリングをどのように変化させるか？
• RQ5 XYZモデルにおけるもつれエントロピーの解析的結果は、どの程度大規模なDMRGシミュレーションによって確認可能か？

主な発見

• ヴァン・ネウマンおよびRényiエントロピーの正確な解析的表現式が、すべての結合定数領域にわたってヤコビのテータ関数を用いて導出された。
• 束縛状態が存在する領域ではもつれエントロピーに非ユニバーサルな対数補正が認められ、特に $ \frac{\pi}{2} < \mu < \pi $ の領域で特徴的なスケーリング行動を示す。
• もつれエントロピーは、$ (J_y, J_z) $ 平面上の等高線図として可視化された連続的なエントロピー値の変化を示す相図を持つ。臨界線付近で最大エントロピーを示す。
• XXZおよびXYZ直線上におけるもつれエントロピーの解析的結果は、$ L \to \infty $ 極限に外挿されたDMRGデータと非常に良好に一致し、本手法の妥当性が確認された。
• モジュラー群作用は、バクスタ―解を相図の異なる領域に体系的に拡張するフレームワークを提供し、エントロピー表現の解析的接続を可能にした。
• 本研究により、XYZモデルにおける本質的臨界点はユニバーサルな対数スケーリングを示す一方で、非本質的臨界点は束縛状態の存在に起因する非ユニバーサル補正を示すことが明らかになった。