[論文レビュー] Quantum Deformations of Relativistic Symmetries

V.N. Tolstoy|ArXiv.org|Apr 2, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 1被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、Zakrzewskiの分類に基づく古典的r行列を用いて、D=4のポincare代数の量子変形を分類し、ほぼすべてがアーベル型およびジョルダン型のねじれ変形に対応することを示している。特に、アーベル的およびジョルダン的成分が順序付き指数積によって組み合わさる下位構造において、相対論的対称性の整合的な量子群変形をもたらす、これらのr行列に対応するねじれの明示的公式を提供している。

ABSTRACT

We discussed quantum deformations of D=4 Lorentz and Poincare algebras. In the case of Poincare algebra it is shown that almost all classical r-matrices of S. Zakrzewski classification correspond to twisted deformations of Abelian and Jordanian types. A part of twists corresponding to the r-matrices of Zakrzewski classification are given in explicit form.

研究の動機と目的

• Zakrzewskiの分類から得られる古典的r行列を用いて、D=4ポincare代数の量子変形を分類すること。
• これらのr行列がアーベル型およびジョルダン型のねじれ変形に対応するかどうかを特定すること。
• Zakrzewski分類に属するr行列の一部に対応するねじれの明示的表現を提供すること。
• r行列を下位関係にあるアーベル的およびジョルダン的成分の和として分析し、整合的な逐次的量子化を可能にする。
• 下位関係に基づく順序付き指数ねじれを用いた、変形されたポincareホップ代数を構築するための枠組みを確立すること。

提案手法

• Zakrzewskiの20ケース分類に従い、D=4ポincare代数の古典的r行列を、同次古典的ヤン・バクスター方程式を満たすように分類する。
• r行列をアーベル型（r = Σ x_i ∧ y_i で、x_i, y_i が可換）またはジョルダン型（r = ξ Σ x_ν ∧ y_ν で、x_0, y_0, t_i パrameter を含む特定の非可換交換関係を有する）に分類する。
• r行列の和における整合性を保証するための下位関係（r1 ∿ r2）の概念を用い、一連の量子化が可能となる。
• 順序付き指数積を用いて明示的なねじれFを構成する：F = F_{r_J} F_{r_A}（下位関係にあるジョルダン型およびアーベル型r行列に対応）。
• ねじれ形式を用いて、普遍包あらゆる代数U(g)をホップ代数として変形し、Δ^{(F)}(a) = FΔ(a)F^{-1} および S^{(F)}(a) = uS(a)u^{-1} を用いて新しいコプロダクトおよび反作用を定義する。
• 得られたねじれがコycle条件およびユニタリ正規化を満たすことを確認し、有効なホップ代数の変形であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 D=4ポincare代数の20個の古典的r行列すべてが、アーベル型およびジョルダン型のねじれ変形に対応するか？
• RQ2 Zakrzewskiの分類に属するr行列は、下位関係にあるアーベル型およびジョルダン型成分に分解可能か？
• RQ3 特にジョルダン型およびアーベル型構造を含むr行列の一部に対して、どのような明示的ねじれ公式を導出できるか？
• RQ4 r行列の下位関係は、順序付きねじれを用いた整合的な逐次的量子化手順をどのように可能にするか？
• RQ5 r行列が下位関係にあるアーベル型およびジョルダン型成分から構成される場合、得られる量子ポincare代数の構造はいかなるものか？

主な発見

• D=4ポincare代数の20個の古典的r行列すべてが、下位関係にあるアーベル型およびジョルダン型r行列の和として表現可能である。
• 最初のr行列r1は、2つの下位関係にあるアーベル型r行列の和であり、ねじれF_{r1} = exp(γ h' ∧ h) exp(α(P+ ∧ P- - P1 ∧ P2)) として与えられる。
• 2番目のr行列r2は、3つの下位関係にある成分（2つのアーベル型、1つのジョルダン型）に分解され、順序付きねじれF_{r2} = F_{r'''_2} F_{r''_2} F_{r'_2} が得られる。
• 3番目のr行列r3は、1つのアーベル型および1つのジョルダン型成分から構成され、ねじれF_{r3} = F_{r''_3} F_{r'_3} で与えられる。ここでF_{r'_3}にはα P1 ∧ σ+および2h ⊗ σ+ 項が含まれる。
• 4番目のr行列r4は、下位関係にある2つのアーベル型r行列の和であり、ねじれF_{r4} = F_{r''_4} F_{r'_4} で与えられ、具体的にはexp(P+ ⊗ (α1P1 + α2P2)) および exp(γ(e'+ - P1) ∧ (e+ + P2)) として明示的に記述される。
• 5番目のr行列r5はローレンツ代数に対応し、式(3.13)に対応するねじれ公式を有しており、本論文で明示的に導出されている。