[論文レビュー] Quantum difference equation for Nakajima varieties

Andreĭ Okounkov, Andrey S. Smirnov|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2016

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、Nakajimaのクイバー多様体に対する量子差分方程式を、Pic(X)⊗ℂにおける周期的超平面配置の基本群族を通じて、等変K理論における量子ダイナミカル・ウェイリ群作用を導入することによって構成する。主な結果として、この群族の格子部分が量子差分作用素に対応し、量子微分方程式をK理論へ一般化するとともに、R行列およびヒルベルト多様体におけるモノドロミーと関連づける。

ABSTRACT

For an arbitrary Nakajima quiver variety $X$, we construct an analog of the quantum dynamical Weyl group acting in its equivariant K-theory. The correct generalization of the Weyl group here is the fundamental groupoid of a certain periodic locally finite hyperplane arrangement in $Pic(X)\otimes {\mathbb{C}}$. We identify the lattice part of this groupoid with the operators of quantum difference equation for $X$. The cases of quivers of finite and affine type are illustrated by explicit examples.

研究の動機と目的

• Nakajimaクイバー多様体の等変K理論における量子微分方程式を一般化すること。
• Pic(X)⊗ℂにおける周期的超平面配置の基本群族を用いて、K理論における量子ダイナミカル・ウェイリ群作用を構成すること。
• この群族の格子部分を、K理論に作用する量子差分作用素と特定すること。
• 安定基底を介して、これらの作用素と巡回クイバー多様体のR行列との関係を確立すること。
• ヒルベルト多様体 Hilb^n(ℂ²) の量子微分方程式の特異点周囲の基本群を表すモノドロミー作用素 B_w(z) が、その構成によって実現されることを示すこと。

提案手法

• 著者らは、壁を越える作用素とR行列を構成するために、等変K理論における安定包絡を定義する。
• 量子ループ代数 𝒰_ℏ(ĝ_Q) 及びその壁部分代数 𝒰_ℏ(𝔤_w) を導入し、量子群作用をモデル化する。
• 量子差分作用素 M_L(z) は、安定包絡とR行列の合成として構成される。
• 動的作用素 B_w(λ) は、z→∞ における M_L(z) の極限として定義され、モノドロミー情報が符号化される。
• 混合安定基底において、B_w(z) の明示的行列が計算され、等変パラメータ a=t₁/t₂ に依存しないことが示され、z と ℏ=t₁t₂ のみに依存することが判明する。
• 作用素 B_w(z) は、d(w) 個の頂点を持つ巡回クイバー多様体のK理論的R行列と特定され、これによりシンプレクティック双対性およびヒルベルト多様体と関連づけられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コhomologyにおける量子微分方程式を、Nakajimaクイバー多様体の等変K理論における量子差分方程式へどのように昇格させることができるか？
• RQ2 K理論におけるウェイリ群作用の適切な一般化は何か？ また、それはPic(X)⊗ℂにおける超平面配置とどのように関係するか？
• RQ3 量子差分作用素は、量子ループ代数および壁部分代数の表現論からどのように生じるか？
• RQ4 安定基底とR行列は、量子ダイナミカル・ウェイリ群の実現において果たす役割は何か？
• RQ5 ヒルベルト多様体 Hilb^n(ℂ²) の量子微分方程式のモノドロミーは、作用素 B_w(z) とどのように関係するか？

主な発見

• Nakajima多様体の量子差分方程式は、Pic(X)⊗ℂにおける周期的超平面配置の基本群族を通じて構成され、ウェイリ群を一般化する。
• この群族の格子部分は、等変K理論に作用する量子差分作用素と正確に一致する。
• 作用素 B_w(z) が等変パラメータ a=t₁/t₂ に依存せず、z と ℏ=t₁t₂ のみに依存することが示された。
• 混合安定基底における B_w(z) の行列は、d(w) 個の頂点を持つ巡回クイバー多様体のK理論的R行列と一致する。
• 極限 B_w = lim_{z→∞} B_w(z) は、Hilb^n(ℂ²) の量子微分方程式の特異点周囲のモノドロミーを実現する。
• この構成により、Fock空間への基本群 π₁(ℙ¹∖{singularities}) の表現が作用素 B_w によって与えられる。