[論文レビュー] Quantum discord of two-qubit X-states

Qing Chen, Chengjie Zhang+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2011

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 35

ひとこと要約

本稿は、最小化を伴わずに解析的に量子相関を計算可能な広範な2キュービットX状態のクラスを特定するとともに、既存のアルゴリズムが失敗するX状態の族—特に𝒳ₘと呼ばれる族—を明らかにした。この状態に対して、すべての正演算子値測定（POVM）に関する最小化によって得られる量子相関は、ボーン・ニューマン測定に関する最小化によって得られるものよりも厳密に小さいことを示し、2種類の最小化スキームの間で明確な非同値性を証明した。

ABSTRACT

Quantum discord provides a measure for quantifying quantum correlations beyond entanglement and is very hard to compute even for two-qubit states because of the minimization over all possible measurements. Recently a simple algorithm to evaluate the quantum discord for two-qubit X-states is proposed by Ali, Rau and Alber [Phys. Rev. A 81, 042105 (2010)] with minimization taken over only a few cases. Here we shall at first identify a class of X-states, whose quantum discord can be evaluated analytically without any minimization, for which their algorithm is valid, and also identify a family of X-states for which their algorithm fails. And then we demonstrate that this special family of X-states provides furthermore an explicit example for the inequivalence between the minimization over positive operator-valued measures and that over von Neumann measurements.

研究の動機と目的

• 2キュービットX状態のクラスを同定し、その中で最小化を伴わずに量子相関を解析的に計算可能であることを示すこと。
• Ali, Rau, and Alberが提唱したX状態における量子相関の計算アルゴリズムが失敗する条件を特定すること。
• X状態における量子相関の計算において、POVMに関する最小化とボーン・ニューマン測定に関する最小化の非同値性を示すこと。
• 標準的アルゴリズムが失敗する具体例—特に最大相関を示す混合状態の族𝒳ₘ—を構築し、POVM最小化が厳密に小さい相関値をもたらすことを示すこと。
• 𝒳ₘ族の構造を分析し、古典的相関対量子相関（𝒥–D）図への影響を検討すること。

提案手法

• 著者らは、局所的ユニタリ変換を用いてパラメータを5つの実数変数x, y, t, s, uに簡略化することで、2キュービットX状態の構造を分析した。
• 特に最適な測定角度θに注目し、異なる量子化軸に沿ったボーン・ニューマン測定に関する最小化を考慮することで、量子相関の解析的表現を導出した。
• 𝒳ₘ族に対して、最適な角度θₐₚₜでパラメータ化された3出力のPOVMを構築し、部分最適な相関値の評価を可能にした。
• ボーン・ニューマン測定による相関（Dₐ）と、構築したPOVMによる相関（𝒟ᵤₚₚₑᵣ）を比較し、𝒟ᵤₚₚₑᵣ > 𝒟ₐであることを示した。これにより、POVM最小化が厳密に小さい相関値をもたらすことが証明された。
• 数値的および解析的な手法を用いて、𝒳ₘのパラメータ空間全域で最適な角度θₐₚₜと対応する相関値を計算し、θₐₚₜ、Δ、およびΔ̃のプロットで結果を可視化した。
• 量子相互情報量およびPOVMとボーン・ニューマン測定を用いた古典的相関測定を用い、Dₐ = 𝒥ₐ - 𝒥ₐおよび𝒟ₐ = 𝒥ₐ - 𝒥ₐにより相関を計算した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのクラスの2キュービットX状態において、最小化を伴わずに量子相関を解析的に計算可能か？
• RQ2 Ali-Rau-AlberのX状態における量子相関計算アルゴリズムが失敗する条件は何か？
• RQ3 X状態における量子相関の計算において、すべてのPOVMに関する最小化とボーン・ニューマン測定に関する最小化は同値か？
• RQ4 POVMが考慮された場合、最大相関を示す混合状態の族𝒳ₘは、𝒥–D図における境界状態とみなせるか？
• RQ5 与えられたX状態に対して、その結果として得られる量子相関が、任意のボーン・ニューマン測定よりも厳密に小さいPOVMを構築できるか？

主な発見

• 最小化を伴わずに解析的に計算可能なX状態の広範なクラスが存在し、これによりAli-Rau-Alberのアルゴリズムがこれらのケースで正当化される。
• 最大相関を示す混合状態とされる𝒳ₘ族は、Ali-Rau-Alberのアルゴリズムを無効にし、最適な測定がσₓやσ_zのいずれとも一致しない。
• 𝒳ₘにおいて、最適なボーン・ニューマン測定の角度θₐₚₜは[0, π/4]の連続的な範囲に存在し、有限の測定集合では常に最適ではないことを示した。
• ボーン・ニューマン測定による相関（Dₐ）と、構築したPOVMによる上界（𝒟ᵤₚₚₑᵣ）との差は、端点を除いて常に正であり、POVM最小化が厳密に小さい相関値をもたらすことを証明した。
• POVM最小化による量子相関（𝒟ₐ）は、ボーン・ニューマン最小化によるもの（Dₐ）よりも厳密に小さいことから、X状態における2つの最小化スキームの非同値性を示す最初の明示的例が得られた。
• POVMを用いる場合、𝒳ₘの𝒥–D図は下方および右方にシフトし、POVM最小化の下では、状態が図の境界上にない可能性があることが示された。