[論文レビュー] Quantum entanglement without eigenvalue spectra:multipartite case

Hao Chen|ArXiv.org|Sep 13, 2001

Quantum Information and Cryptography参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、積複素射影空間における固有ベクトルの幾何的配置に基づき、マルチパーティ量子混合状態の固有値に依存しない代数的集合不変量を導入する。これらの不変量により、固有値とは独立した新しい分離可能性基準が得られ、分離可能な状態は線形部分空間の積の和として表される必要があることが示され、特にLOCCで比較不能な状態が同一のスペクトルを持つ三粒子系において、部分トレーススペクトルだけでは量子もつれを完全に特徴付けられないことが明らかになる。

ABSTRACT

We introduce algebriac sets in the products of complex projective spaces for multipartite mixed states, which are independent of their eigenvalues and only measure the "position" of their eigenvectors, as their non-local invariants (ie. remaining invariant after local untary transformations). These invariants are naturally arised from the physical consideration of checking multipartite mixed states by measuring them with multipartite separable pure states. The algebraic sets have to be the sum of linear subspaces if the multipartite mixed state is separable, and thus we give a new separability criterion of multipartite mixed states. A continuous family of 4-party mixed states, whose members are separable for any 2:2 cut and entangled for any 1:3 cut (thus bound entanglement if 4 parties are isolated), is constructed and studied from our invariants and separability criterion. Examples of LOCC-incomparable entangled tripartite pure states are given to show it is hopeless to characterize the entanglement properties of tripartite pure states by only using the eigenvalue speactra of their partial traces. We also prove that at least $n^2+n-1$ terms of separable pure states, which are "orthogonal" in some sence, are needed to write a generic pure state in $H_A^{n^2} \otimes H_B^{n^2} \otimes H_C^{n^2}$ as a linear combination of them.

研究の動機と目的

• 密度行列やその部分トレースの固有値スペクトルに依存しないマルチパーティ混合状態のもつれ不変量の開発を目的とする。
• 特に混合状態や二粒子系を超える純粋状態におけるマルチパーティもつれの理解のギャップを埋める。
• 固有値ではなく、固有ベクトルの幾何的配置に基づいた新しい分離可能性基準の構築を目的とする。
• マルチパーティ純粋状態のもつれ性質が、部分トレースの固有値スペクトルだけでは捉えきれないことの証明を目的とする。
• スモリン型の束縛もつれ状態（例：Smolin-type）を一般化し、提案された不変量を用いてその構造を分析することを目的とする。

提案手法

• マルチパーティ分離可能な純粋状態で混合状態を測定することにより生じるヘルミート双線形形式の退化点として代数的集合を定義する。
• 局所ユニタリ変換に対して不変であり、固有ベクトルの「位置」のみに依存する、複素射影空間の積上の不変量を構成する。
• 代数幾何学的手法を用いて、これらの不変量の構造を特徴づける。具体的には、次元、既約成分、体積や曲率などの微分幾何的性質を含む。
• 新しい分離可能性基準を証明する：マルチパーティ混合状態が分離可能であるための必要十分条件は、関連する代数的集合が線形部分空間の積の和であることに他ならない。
• この基準を用いて、スモリンの構成を一般化した4粒子系の束縛もつれ状態の連続的族を構成する。
• 三粒子純粋状態を不変量を用いて分析し、部分トレーススペクトルが同一であるにもかかわらずLOCCで比較不能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 密度行列やその部分トレースの固有値スペクトルに依存せずに、マルチパーティもつれを特徴づけることは可能か？
• RQ2 局所ユニタリ変換に対して不変であり、もつれの尺度として機能する固有ベクトルの幾何的不変量は何か？
• RQ3 同じ部分トレーススペクトルを持つにもかかわらず、特定の三粒子純粋状態がLOCCで比較不能であるのはなぜか？ そして、これを代数的に検出する方法は何か？
• RQ4 固有ベクトルに基づく不変量を用いて、連続的な4粒子系の束縛もつれ混合状態の族を構成し、特徴づけることは可能か？
• RQ5 $H_{A}^{n^2} \otimes H_{B}^{n^2} \otimes H_{C}^{n^2}$ 内の一般の三粒子純粋状態を分解するには、互いに直交する分離可能な純粋状態が最低何個必要か？

主な発見

• 固有値に依存しない新しい分離可能性基準が確立された：マルチパーティ混合状態が分離可能であるための必要十分条件は、関連する代数的集合が線形部分空間の積の和であることに他ならない。
• この基準は、連続的な族のエンタングル状態を検出可能である。同じ固有ベクトルを持ち、任意の固有値を持つ状態は、基準を満たさなければエンタングル状態である。
• スモリンの状態を一般化した4粒子系の束縛もつれ混合状態の連続的族が構成された。任意の2:2分割では分離可能だが、任意の1:3分割ではエンタングル状態である。
• 部分トレーススペクトルが同一であるにもかかわらずLOCCで比較不能な三粒子純粋状態の例が構成された。これにより、スペクトルだけではマルチパーティもつれを特徴付けられないことが証明された。
• 一般の純粋状態 $H_{A}^{n^2} \otimes H_{B}^{n^2} \otimes H_{C}^{n^2}$ において、スミード的分解の $n^2$ 個の成分のうち、少なくとも1つはスミードランクが $n$ 以上でなければならない。これは二粒子系とは本質的な違いを示す。
• 一般の純粋状態を $H_{A}^{n^2} \otimes H_{B}^{n^2} \otimes H_{C}^{n^2}$ 内で線形結合として表すには、少なくとも $n^2 + n - 1$ 個の互いに直交する分離可能な純粋状態が必要であることが証明された。