[論文レビュー] Quantum Error Correction Code in the Hamiltonian Formulation

Yong Zhang|ArXiv.org|Jan 16, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 60被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、量子誤り訂正符号の安定化子フリーなハミルトニアン形式を提案する。これは、積状態からエンタングルド論理状態へのユニタリ基底変換を用いるもので、ショアの9キュービット符号とそのグリーンバーガー＝ホーン＝ベルンハイマー（GHZ）状態を用いた一般化により実証されている。主な貢献は、符号の符号化を実装するユニタリ時間発展演算子が量子ヤン・バクスター方程式を満たし、したがってバーティカルな演算子を形成することを示したことである。これにより、安定化子形式に依存しない可解なハミルトニアンモデルが構築可能となる。

ABSTRACT

The Hamiltonian model of quantum error correction code in the literature is often constructed with the help of its stabilizer formalism. But there have been many known examples of nonadditive codes which are beyond the standard quantum error correction theory using the stabilizer formalism. In this paper, we suggest the other type of Hamiltonian formalism for quantum error correction code without involving the stabilizer formalism, and explain it by studying the Shor nine-qubit code and its generalization. In this Hamiltonian formulation, the unitary evolution operator at a specific time is a unitary basis transformation matrix from the product basis to the quantum error correction code. This basis transformation matrix acts as an entangling quantum operator transforming a separate state to an entangled one, and hence the entanglement nature of the quantum error correction code can be explicitly shown up. Furthermore, as it forms a unitary representation of the Artin braid group, the quantum error correction code can be described by a braiding operator. Moreover, as the unitary evolution operator is a solution of the quantum Yang--Baxter equation, the corresponding Hamiltonian model can be explained as an integrable model in the Yang--Baxter theory. On the other hand, we generalize the Shor nine-qubit code and articulate a topic called quantum error correction codes using Greenberger-Horne-Zeilinger states to yield new nonadditive codes and channel-adapted codes.

研究の動機と目的

• 安定化子形式に依存しない量子誤り訂正符号のためのハミルトニアンモデルの構築。
• 積状態から論理状態へのユニタリ基底変換を通じて、量子符号のエンタングルメント構造を明示的に明らかにすること。
• 3キュービットのGHZ状態を用いてショアの9キュービット符号を一般化し、新たな非加法的およびチャネル適応型符号を構築すること。
• ヤン・バクスター方程式を通じて、量子誤り訂正と可解系との間の関係を確立すること。
• これらのハミルトニアンモデルの物理的実装およびフォールトトレランス応用の探求。

提案手法

• 計算基底（積状態基底）から量子誤り訂正符号の論理基底へのユニタリ時間発展演算子が導出され、符号状態におけるエンタングルメントが明示的に示される。
• 変換行列が量子ヤン・バクスター方程式を満たすことが示され、これはそれがバーティカルな演算子として機能することを示唆し、トポロジカルな解釈を可能にする。
• ハミルトニアンは、特定の時間における時間発展演算子がこのユニタリ変換を実装するように構築され、可解なモデルを形成する。
• この手法はショアの9キュービット符号に適用され、3キュービットのGHZ状態を用いて一般化され、論理状態は $|\psi\rangle_L = \frac{1}{\sqrt{2}}(|000\rangle + |111\rangle)$ と定義される。
• 安定化子形式は完全に回避され、代わりにユニタリ符号化プロセスとその代数的構造に焦点を当てる。
• ハミルトニアンは時間発展演算子 $U = e^{-iHt}$ から導出され、$H$ は $t = \pi/4$ において積状態をGHZに基づく論理状態に写像するように選ばれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定化子形式に依存しない量子誤り訂正のためのハミルトニアンモデルを構築できるか？
• RQ2 ユニタリ基底変換を通じて、量子誤り訂正符号のエンタングルメント構造を明示的に明らかにできるか？
• RQ3 ヤン・バクスター方程式は、量子誤り訂正符号をバーティカルな演算子として記述する上で果たす役割は何か？
• RQ4 GHZ状態を用いて、体系的に新たな非加法的およびチャネル適応型量子誤り訂正符号を構築できるか？
• RQ5 量子ヤン・バクスター方程式の解から導かれるハミルトニアンが、量子誤り訂正に与える物理的および計算的意味は何か？

主な発見

• ショアの9キュービット符号における積状態から論理状態へのユニタリ基底変換が、量子ヤン・バクスター方程式の解であることが示され、可解性を示唆する。
• この変換から導かれるハミルトニアンモデルは可解系であり、時間発展演算子はアーティンのブレード群におけるバーティカルな演算子として機能する。
• 論理状態 $|\psi\rangle_L = \frac{1}{\sqrt{2}}(|000\rangle + |111\rangle)$ は $U = e^{-i\frac{\pi}{4}H}$ および $H = -iY\otimes Y\otimes Y$ を用いて生成され、符号化の物理的実装が示される。
• この手法により、GHZ状態を用いた新たな非加法的符号およびチャネル適応型符号の構築が可能となり、安定化子に基づく枠組みを越える。
• GHZ状態の代数的構造とヤン・バクスター解を活用することで、フォールトトレランス型量子計算の新たなフレームワークが提供される。
• このハミルトニアンモデルは、光学系やスピン格子系などにおいて物理的に実装可能であり、事前の状態準備に関する研究から実験的実現可能性が示唆されている。