[論文レビュー] Quantum Fast-Forwarding: Markov Chains and Graph Property Testing

Simon Apers, Alain Scarlet|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 58被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、可逆マルコフ連鎖の遷移的ダイナミクスのシミュレーションを、量子ウォークを用いて2乗の加速を達成する量子アルゴリズム、Quantum Fast-Forwarding (QFF) を提案する。線形ユニタリの組み合わせと切り捨てられたチェビシェフ展開を活用することで、QFFは $ D^t \ket{v} $ に $ O(\|D^t\ket{v}\|^{-1} \sqrt{t \log(\epsilon \|D^t\ket{v}\|)^{-1}}) $ の期待量子ウォークステップで近似する状態を準備する。この手法により、グラフ特性テストおよび $s$-$t$ 接続性において高速化が可能となる。

ABSTRACT

We introduce a new tool for quantum algorithms called quantum fast-forwarding (QFF). The tool uses quantum walks as a means to quadratically fast-forward a reversible Markov chain. More specifically, with $P$ the Markov chain transition matrix and $D = \\sqrt{P\\circ P^T}$ its discriminant matrix ($D=P$ if $P$ is symmetric), we construct a quantum walk algorithm that for any quantum state $|v\ angle$ and integer $t$ returns a quantum state $\\epsilon$-close to the state $D^t|v\ angle/\\|D^t|v\ angle\\|$. The algorithm uses $O\\Big(\\|D^t|v\ angle\\|^{-1}\\sqrt{t\\log(\\epsilon\\|D^t|v\ angle\\|)^{-1}}\\Big)$ expected quantum walk steps and $O(\\|D^t|v\ angle\\|^{-1})$ expected reflections around $|v\ angle$. This shows that quantum walks can accelerate the transient dynamics of Markov chains, complementing the line of results that proves the acceleration of their limit behavior. We show that this tool leads to speedups on random walk algorithms in a very natural way. Specifically we consider random walk algorithms for testing the graph expansion and clusterability, and show that we can quadratically improve the dependency of the classical property testers on the random walk runtime. Moreover, our quantum algorithm exponentially improves the space complexity of the classical tester to logarithmic. As a subroutine of independent interest, we use QFF for determining whether a given pair of nodes lies in the same cluster or in separate clusters. This solves a robust version of $s$-$t$ connectivity, relevant in a learning context for classifying objects among a set of examples. The different algorithms crucially rely on the quantum speedup of the transient behavior of random walks.

研究の動機と目的

• 可逆マルコフ連鎖の遷移的挙動を加速する新しい量子アルゴリズム的ツールの開発。これは、従来の限界挙動にのみ焦点を当てた手法とは異なり、より広範な動的挙動をカバーする。
• 特に拡張性およびクラスタビリティのテストに焦点を当てた、古典的ランダムウォークベースのアルゴリズムにおける量子高速化を実現する。
• ノイズや近似条件が存在する状況下でも、2つのノードが同じクラスタに属するかを特定できる、強靭な $s$-$t$ 接続性問題の量子的解決策を提供する。
• 量子ウォークのダイナミクスを活用することで、古典的特性テストの空間計算量を多項式的から対数的へと削減する。

提案手法

• Quantum Fast-Forwarding (QFF) は、遷移行列 $ P $ を持つ可逆マルコフ連鎖の判別行列 $ D = \sqrt{P \circ P^T} $ に関連する量子ウォーク演算子を用いる。
• 量子ウォークハミルトニアンに対して線形ユニタリの組み合わせ (LCU) 技法を適用し、$ D^t $ のスペクトル的ダイナミクスをシミュレートする。
• 行列 $ D $ の固有値関数の切り捨てられたチェビシェフ展開を用いて、$ D^t \ket{v} $ を制御された誤差で近似する。
• 期待量子ウォークステップ数が $ O(\|D^t\ket{v}\|^{-1} \sqrt{t \log(\epsilon \|D^t\ket{v}\|)^{-1}}) $ であるアルゴリズムにより、$ \epsilon $-近似状態 $ \ket{D^t v} = D^t \ket{v} / \|D^t \ket{v}\| $ を準備する。
• 初期状態 $ \ket{v} $ の周りの反射を $ O(\|D^t\ket{v}\|^{-1}) $ の期待回数行う必要があり、局所性と効率性を維持する。
• グラフ特性テストへの応用では、ランダムウォーク分布から類似性グラフを構築し、量子スケッチ上でブールトフォース法で連結成分をチェックする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子ウォークを用いて、可逆マルコフ連鎖の遷移的ダイナミクス（限界挙動にとどまらず）を加速できるか？
• RQ2 QFF は、グラフ特性テストに用いられる古典的ランダムウォークアルゴリズムの $ t $ 依存性に対して2乗の高速化を達成できるか？
• RQ3 QFF は、入力サイズに関して多項式的から対数的へと古典的グラフ特性テストの空間計算量を削減できるか？
• RQ4 QFF は、分布が近似的に類似しているような状況下でも、ノイズや近似条件に強く、2つのノードが同じクラスタに属するかを判定できる、強靭な $ s $-$ t $ 接続性問題を解けるか？
• RQ5 マルコフ連鎖の全スペクトル的ダイナミクスを活用することで、グラフクラスタリングおよびスパarsificationにおける量子高速化を達成できるか？

主な発見

• QFF は $ t $ 依存性において2乗の高速化を達成し、$ \epsilon $-近似状態 $ \ket{D^t v} $ を準備するための期待量子ウォークステップ数が $ O(\|D^t\ket{v}\|^{-1} \sqrt{t \log(\epsilon \|D^t\ket{v}\|)^{-1}}) $ に抑えられる。
• アルゴリズムは $ \|D^t\ket{v}\|^{-1} $ の期待反射回数を用いるため、リソースの過剰な増加を防ぎ、低コストを維持する。
• グラフの拡張性およびクラスタビリティテストにおいて、量子ウォークステップ数を $ \widetilde{O}(N^{1/2}k^7\Phi_{\mathrm{in}}^{-2}\epsilon^{-5}) $ から $ \widetilde{O}(N^{1/2}k^7\Phi_{\mathrm{in}}^{-1}\epsilon^{-4}) $ に改善し、$ \Phi_{\mathrm{in}} $ 依存性を向上させる。
• 量子アルゴリズムは、古典的テストの空間計算量を多項式的から対数的へと指数的に改善し、極めて空間効率的である。
• QFF は、ウォーク分布が近似的に類似している場合でも、2つのノードが同じクラスタに属するかを判定できる強靭な $ s $-$ t $ 接続性テストを可能にする。
• $ \mathbb{Z} $ 上のランダムウォークに対する下界の議論により、$ t $ および $ \epsilon $ 依存性において最適性が示されている。