[論文レビュー] Quantum field theory from classical statistics

C. Wetterich|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2011

Quantum Mechanics and Applications参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、特定の因果的かつ局所的な時間発展演算則を備えた古典的統計的イジング型モデルを提案する。このモデルは、外部電磁場中のディラックフェルミオンの完全な量子場理論を再現する。モデルはシュレーディンガー方程式、干渉、トンネル効果、離散的エネルギー準位を古典的統計から導出し、非局所性や隠れた変数を必要とせずに量子現象が古典的確率分布から生じることを示している。

ABSTRACT

An Ising-type classical statistical model is shown to describe quantum fermions. For a suitable time-evolution law for the probability distribution of the Ising-spins our model describes a quantum field theory for Dirac spinors in external electromagnetic fields, corresponding to a mean field approximation to quantum electrodynamics. All quantum features for the motion of an arbitrary number of electrons and positrons, including the characteristic interference effects for two-fermion states, are described by the classical statistical model. For one-particle states in the non-relativistic approximation we derive the Schrödinger equation for a particle in a potential from the time evolution law for the probability distribution of the Ising-spins. Thus all characteristic quantum features, as interference in a double slit experiment, tunneling or discrete energy levels for stationary states, are derived from a classical statistical ensemble. Concerning the particle-wave-duality of quantum mechanics, the discreteness of particles is traced back to the discreteness of occupation numbers or Ising-spins, while the continuity of the wave function reflects the continuity of the probability distribution for the Ising-spins.

研究の動機と目的

• ディラックフェルミオンの量子場理論が、イジングスピンの古典的統計的集合から生じることを示すこと。
• 量子干渉やその他の量子的特徴が、古典的確率的枠組み内で実現可能かどうかという基礎的問いを解消すること。
• 重ね合わせ、トンネル効果、離散的エネルギー準位といった主要な量子現象が、決定論的で局所的かつ因果的な古典的確率分布の時間発展から生じることを示すこと。
• 非可換構造が量子力学に現れる原因を明らかにし、それらが根本的仮説ではなく、粗視化された相関関数から生じることを示すこと。
• 部分系の測定に基づいて観測量と相関関数を再定義することで、ベルの不等式とコッヘン＝スペンサーザスの定理を回避すること。これにより、古典的積の観測量を避ける。

提案手法

• 格子上に配置されたイジングスピンの古典的統計的集合を定式化し、スピンアップはサイトにフェルミオンが存在すること、スピンダウンは存在しないことを表す。
• スピン配置の確率分布に対する、特定の因果的かつ局所的な時間発展演算則を定式化し、確率空間上の微分方程式として表現する。
• イジングスピンをフェルミオンの占有数にマッピングし、4種類または8種類のスピン自由度がディラックスピンルーパーの自由度に対応する。
• 確率分布の時間発展演算則から、ディラック方程式とその非相対論的極限におけるシュレーディンガー方程式を導出する。
• 実グラスマン代数を用いて波動関数とそのダイナミクスを符号化し、複素数を用いずに符号の変化と干渉を可能にする。
• 部分系と環境の分離を尊重する古典的観測量の同値類を用いて、量子的相関関数を定義し、ベル型定理で用いられる古典的積を避ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的かつ因果的な時間発展演算則を持つ古典的統計的集合が、二重スリット実験における量子干渉を再現できるか？
• RQ2 外部電磁場中のディラックフェルミオンの完全なダイナミクスが、古典的イジング型統計的モデルから生じるか？
• RQ3 量子力学における非可換演算子構造が、古典的確率分布からどのように生じるか？
• RQ4 なぜこの枠組みではベルの不等式が成立せず、顕著な非古典的相関があるにもかかわらず量子非局所性が回避されるのか？
• RQ5 シュレーディンガー方程式およびその特徴（例：トンネル効果、離散的エネルギー準位）が、量子力学を仮定せず、古典的統計モデルから導出可能か？

主な発見

• 提示された古典的確率分布の時間発展演算則は、外部電磁場中のフェルミオンのディラック方程式を再現し、相対論的およびスピンルーパー構造を含む。
• 非相対論的極限において、時間発展演算則はポテンシャル中を運動する粒子のシュレーディンガー方程式を導出し、干渉やトンネル効果を含むすべての関連する量子現象を再現する。
• 干渉効果は、正負の値を取り得る古典的確率分布の波動的性質に起因し、破壊的干渉を可能にする。
• 不確定性原理と定常状態の離散的エネルギー準位は、古典的モデルから得られたシュレーディンガー方程式の解から直接導出される。
• 量子力学における非可換演算子構造は、仮説からではなく、部分系測定を尊重する粗視化された相関関数から生じる。これにより、ベルの定理やコッヘン＝スペンサーザスの定理の仮定を回避する。
• 本モデルは「確率的実在論」を実現する——即ち、一意の現実が確率的法則に従う——量子的特徴は、非局所性や隠れた変数ではなく、時間発展演算則の特定の形に起因する。