[論文レビュー] Quantum Field Theory in de Sitter Universe: Ambient Space Formalism

M. V. Takook|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 66被引用数 28

ひとこと要約

本稿は、群表現論と複素化された多様体の正則性に裏打ちされたアンビエント空間形式を用いて、4次元de Sitter時空における量子場理論を構築する。unitary無限可約表現（UIR）を厳密に定式化し、さまざまなスピン場の量子場演算子と正則な2点関数を構成する。特に、Bunch-Davies真空上での質量なし最小カレントスカラー場の初の構成がなされるとともに、スピン $ s \geq 3 $ の質量なし場がこの形式では伝搬できないことが証明される。

ABSTRACT

Quantum field theory in the $4$-dimensional de Sitter space-time is constructed in the ambient space formalism in a rigorous mathematical framework. This work is based on the group representation theory and the analyticity of the complexified pseudo-Riemannian manifolds. The unitary irreducible representations of de Sitter group and their corresponding Hilbert spaces are reformulated in the ambient space formalism. Defining the creation and annihilation operators, quantum field operators and their corresponding analytic two-point functions for various spin fields have been constructed. The various spin massless fields can be constructed in terms of the massless conformally coupled scalar field in this formalism. Then the quantum massless minimally coupled scalar field operator, for the first time, is also constructed on Bunch-Davies vacuum state which preserve the analyticity. We show that the massless fields with $s \geq 3$ cannot propagate in de Sitter ambient space formalism. The massless gauge invariant field equations for $s=1, \frac{3}{2}, 2$ are studied. The gauge spin-$\frac{3}{2}$ fields satisfy the Grassmannian algebra, and hence provoke one to couple them with the gauge spin-$2$ field and the super-algebra is naturally appeared.

研究の動機と目的

• 群表現論と正則性を用いて、de Sitter時空における量子場理論の厳密な数学的枠組みを提供すること。
• アンビエント空間形式において、de Sitter群のunitary無限可約表現（UIR）およびそれに対応するヒルベルト空間を再定式化すること。
• さまざまなスピン場（質量あり・なしを含む）の量子場演算子、生成消滅演算子、正則な2点関数を構成すること。
• スピン $ s \geq 3 $ の質量なし場が、なぜアンビエント空間形式では伝搬しないのかを調査し、その背後にある群論的根拠を明らかにすること。
• Bunch-Davies真空状態上での質量なし最小カレントスカラー場演算子の初の構成を、正則性を保ったまま確立すること。

提案手法

• 5次元ミンコフスキー時空における超曲面としての4次元de Sitter時空の埋め込みを用い、アンビエント空間形式を導入することで、群表現論を用いた量子場理論の再定式化を行う。
• 2つのカシミール作用素を用いて、de Sitter群 $SO(1,4)$ のunitary無限可約表現（UIR）を分類し、スピンと質量（平坦極限での対応）を表すパrameter $j$ と $p$ でラベル化する。
• 特に主系列、補完系列、離散系列に対して、関連するヒルベルト空間上に生成消滅演算子を定義し、量子場演算子を構成する。
• 2次のカシミール作用素を用いて場の方程式を導出し、$x$-空間および $\xi$-空間（アンビエント座標）における場の方程式を定式化することで、de Sitter対称性と整合性を保つ。
• コンフォーマル変換技術、特にディラック6-円錐形式を用いて、アンビエント空間の場を内在的de Sitter座標に変換し、コンフォーマル不変性を検討する。
• 解析接続とバイテンソル形式を用いて、2点関数を測地線距離と基本的テンソルで表現し、複素化されたde Sitter時空における正則性と最大対称性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピンの異なる場の量子場演算子が、アンビエント空間形式と群表現論を用いてde Sitter時空で厳密に構成可能か？
• RQ2 Bunch-Davies真空上での質量なし最小カレントスカラー場が、アンビエント空間形式において正則性を保ったまま一貫した量子化を受けるか？
• RQ3 スピン $ s \geq 3 $ の質量なし場が、なぜアンビエント空間形式では伝搬しないのか。その背後にある群論的根拠は何か？
• RQ4 スピン1、$\frac{3}{2}$、スピン2の場に対して、ゲージ不変性とコンフォーラル対称性は、どのようにアンビエント空間形式で実現されるか？
• RQ5 スピン-$\frac{3}{2}$の場のグラスマン代数が、de Sitter時空においてスピン2場と結合した際に、自然に超代数を導くか？

主な発見

• Bunch-Davies真空状態上での質量なし最小カレントスカラー場演算子が、アンビエント空間形式において初の構成がなされ、正則性が保たれる。
• 質量あり場は主系列および補完系列の表現に対応し、質量なし場は $j = p$ の離散系列から生じ、コンフォーラル対称性を示す。
• 質量あり場はde Sitter群のUIRに従い、関連するヒルベルト空間上での生成消滅演算子を用いて場演算子が構成される。
• アンビエント空間形式では、スピン $ s \geq 3 $ の質量なし場の伝搬が禁止される。これは、必要な系列に適切なunitary無限可約表現が存在しないことによる。
• スピン1、$\frac{3}{2}$、スピン2の場に対してゲージ不変な場の方程式が導かれ、スピン-$\frac{3}{2}$の場はグラスマン代数を満たし、スピン2場と自然に結合可能であり、超代数の出現が示唆される。
• すべての場の2点関数は、解析接続を用いて測地線距離とバイテンソルで表現され、複素化されたde Sitter時空における最大対称性と正則性が保証される。