[論文レビュー] Quantum filtering: a reference probability approach

Luc Bouten, Ramon van Handel|ArXiv.org|Aug 1, 2005

Quantum Information and Cryptography参考文献 53被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、非可換確率論とHudson-Parthasarathy微積分を用いて、連続的なホモダイン観測および光子数カウント観測に対する量子系のBelavkin-ZakaiおよびBelavkin-Kushner-Stratonovich方程式を導出する、参照確率法を提示する。この手法は、量子Girsanov型変換による非破壊的測度変換を用い、量子条件付き期待値と非可換Kallianpur-Striebel公式を通じて、非正規化および正規化されたフィルタリング方程式を導出可能である。

ABSTRACT

These notes are intended as an introduction to noncommutative (quantum) filtering theory. An introduction to quantum probability theory is given, focusing on the spectral theorem and the conditional expectation as the least squares estimate, and culminating in the construction of Wiener and Poisson processes on the Fock space. Next we describe the Hudson-Parthasarathy quantum Ito calculus and its use in the modelling of physical systems. Finally, we use a reference probability method to obtain quantum filtering equations, in the Belavkin-Zakai (unnormalized) form, for several system-observation models from quantum optics. The normalized (Belavkin-Kushner-Stratonovich) form is obtained through a noncommutative analogue of the Kallianpur-Striebel formula.

研究の動機と目的

• 連続時間における量子フィルタリング方程式を導出するための体系的で、参照確率に基づく手法の開発。
• 非可換確率論と確率的微積分を用いて、古典的フィルタリング技法（特にZakaiおよびKallianpur-Striebel公式）を量子領域に拡張すること。
• 量子光学におけるホモダインおよび光子数カウント測定モデルの両方に対する、統一的な量子フィルタリング方程式の導出。
• 量子フィルタリングが、イノベーションの予想に依存せず、参照測度下での量子条件付き期待値の基本的取り扱いに還元可能であることを示すこと。

提案手法

• スペクトル定理と量子条件付き期待値（最小二乗推定器としての役割）に注目した非可換確率論の応用。
• スペクトル定理と量子確率的微積分を用いて、フォック空間上にウィENER過程およびポアソン過程を構成。
• Hudson-Parthasarathy量子Itô微積分を用いて、マルコフ的ダイナミクスを有するオープン量子系をモデル化。
• Holevoの手法にインspiredされた、量子Girsanov変換を用いた非破壊的測度変換を実装し、フィルタリング問題の簡略化を図る。
• 参照測度下での量子条件付き期待値を用いてBelavkin-Zakai方程式を導出し、その後非可換Kallianpur-Striebel公式を適用して正規化されたBelavkin-Kushner-Stratonovich方程式を得る。
• ホモダイン検出（観測が不完全な場合）およびカウント過程ダイナミクスを有する光子数カウントの2つの主要な量子光学モデルに対して、手法の妥当性を検証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的参照確率法は、非可換な設定においてどのように量子フィルタリング方程式を導出するために適応可能か？
• RQ2 スペクトル定理と量子条件付き期待値は、最小二乗推定に基づく量子フィルタリングを可能にする上で果たす役割は何か？
• RQ3 量子Girsanov変換は、フィルタリング問題を簡略化する参照測度を構築するためにどのように利用可能か？
• RQ4 ホモダインおよび光子数カウント測定に対する、Belavkin-ZakaiおよびBelavkin-Kushner-Stratonovich方程式の明示的形は何か？
• RQ5 非可換Kallianpur-Striebel公式は、フィルタリングにおける非正規化および正規化された量子状態の間の関係をどのように規定するか？

主な発見

• 不完全な観測を伴うホモダイン検出のBelavkin-Zakai方程式は、$ d\sigma_t(X) = \sigma_t(\mathcal{L}_{L,H}(X))dt + (1+\kappa^2)^{-1}\sigma_t(L^*X + XL)dY_t $ として導出された。
• 光子数カウントの場合は、Belavkin-Zakai方程式が $ d\sigma_t(X) = \sigma_t(\mathcal{L}_{L,H}(X))dt + (\sigma_t(L^*XL) - \sigma_t(X))(dY_t - dt) $ の形をとる。
• 光子数カウントの正規化されたフィルタリング方程式は、$ d\pi_t(X) = \pi_t(\mathcal{L}_{L,H}(X))dt + \left(\frac{\pi_t(L^*XL)}{\pi_t(L^*L)} - \pi_t(X)\right)(dY_t - \pi_t(L^*L)dt) $ である。
• イノベーション過程 $ d\overline{Z}_t = dY_t - \pi_t(L^*L)dt $ がマルティンゲールであることが示され、条件付き強度が $ \pi_t(L^*L) $ であることが確認された。
• 参照確率法はイノベーション予想に依存せず、量子条件付き期待値と測度変換にのみ依存するため、マルティンゲールに基づく導出よりも概念的に単純である。
• この手法は一般性を有し、圧縮または熱的入力雑音を有するモデルに対しても適用可能であり、拡張性の議論において指摘されている。