[論文レビュー] Quantum Finance: The Finite Dimensional Case

Zeqian Chen|ArXiv.org|Dec 26, 2001

Stochastic processes and financial applications参考文献 31被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、有限次元ヒルベルト空間を用いた量子確率の枠組みを導入し、古典的確率変数の代わりに非可換自己随伴作用素を用いる。量子的アービトレッジフリー価格設定およびオプション分解の定式化を行い、量子二項モデルが古典的二項モデルにおけるパラドックスを解消することを示し、量子確率過程を用いてコックス＝ロス＝ルビンスタインのオプション価格設定公式を再導出する。

ABSTRACT

In this paper, we present a quantum version of some portions of Mathematical Finance, including theory of arbitrage, asset pricing, and optional decomposition in financial markets based on finite dimensional quantum probability spaces. As examples, the quantum model of binomial markets is studied. We show that this quantum model ceases to pose the paradox which appears in the classical model of the binomial market. Furthermore, we re-deduce the Cox-Ross-Rubinstein binomial option pricing formula by considering multi-period quantum binomial markets.

研究の動機と目的

• 有限次元ヒルベルト空間を用いた量子確率に基づく金融市場の枠組みの構築。
• アービトレッジフリー価格設定、マルティングル、オプション分解といった古典的概念を非可換な設定に一般化すること。
• 量子確率過程の導入により、金融市場における古典的二項モデルに存在するパラドックスを解消すること。
• 多期間量子二項市場を用いてコックス＝ロス＝ルビンスタインの二項オプション価格設定公式を再導出すること。

提案手法

• 自己随伴作用素が資産価格を表す有限次元量子確率空間を用いて金融市場をモデル化する。
• C*-代数上の非可換期待値関数を用いて、量子マルティングルおよびリスク中立的状態を定義する。
• 非可換確率過程および量子確率積分を用いて価格動態をモデル化する。
• アップ／ダウン価格変動を表すためにパウリスピン行列を量子二項モデルの構築要素として用いる。
• 単期間モデルのテンソル積として多期間量子二項市場を構築する。
• アービトレッジの不在を保証し、量子オプション分解を適用することでオプション価格設定公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的金融概念、たとえばアービトレッジなしやマルティングル測度は、有限次元量子確率空間に一貫して拡張可能か？
• RQ2 量子二項モデルは、金融市場における古典的二項モデルに存在するパラドックスを解消するのか？
• RQ3 多期間設定において、量子確率過程を用いてコックス＝ロス＝ルビンスタインのオプション価格設定公式を再導出できるか？
• RQ4 非可換性は、古典的金融モデリングにおける不整合を解消する役割を果たすのか？
• RQ5 量子金融市場は、一貫したオプションの価格設定およびヘッジ理論を支えることができるか？

主な発見

• 量子二項モデルは、特定のパrameter選択がオプション価格設定に不整合を引き起こすという古典的二項モデルにおけるパラドックスを効果的に解消した。
• 非可換確率過程に基づく多期間量子二項市場フレームワークを用いて、コックス＝ロス＝ルビンスタインの二項オプション価格設定公式が再導出された。
• 有限次元量子確率空間において量子マルティングル測度が存在し、一貫したアービトレッジフリー価格設定理論が可能である。
• スーパーマルティングルのオプション分解が量子設定で確立され、古典的ヘッジ理論が非可換市場へ拡張された。
• 量子価格変動の生成子としてパウリスピン行列を用いることで、物理的根拠があり数学的に整合性のある離散時間量子ファイナンスモデルが得られた。
• この枠組みは、離 discrete 時間設定において、古典的確率に比べて量子確率が金融モデリングのより強固な基盤を提供することを示した。