[論文レビュー] Quantum Gibbs Sampling Using Szegedy Operators

Robert R. Tucci|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2009

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Szegedy作用素と位相推定を用いた量子アルゴリズムを提示し、ギブス分布のサンプリングを実現する。精度O(ǫ)でO(1/√δ)ステップで実行可能であり、δはギブスマルコフ連鎖の固有値ギャップを表す。古典的手法に比べ、量子位相推定とグローバーの拡散を活用することで、ターゲットのギブス状態を効率的に準備でき、古典的手法のO(1/δ)ステップを改善する。

ABSTRACT

We present an algorithm for doing Gibbs sampling on a quantum computer. The algorithm combines phase estimation for a Szegedy operator, and Grover's algorithm. For any $ε>0$, the algorithm will sample a probability distribution in ${\cal O}(\frac{1}{\sqrtδ})$ steps with precision ${\cal O}(ε)$. Here $δ$ is the distance between the two largest eigenvalue magnitudes of the transition matrix of the Gibbs Markov chain used in the algorithm. It takes ${\cal O}(\frac{1}δ)$ steps to achieve the same precision if one does Gibbs sampling on a classical computer.

研究の動機と目的

• 古典的ベイジアンネットワークの効率的ギブスサンプリングのための量子アルゴリズムを開発すること。
• 古典コンピュータではO(1/δ)ステップを要するギブスサンプリングのステップ数を、量子コンピュータではO(1/√δ)ステップに削減すること。
• Szegedy作用素と位相推定を用いて、ギブス分布を符号化する量子ウォークを構築すること。
• ハイブリッド量子古典マルコフ連鎖を用いて、高次元確率分布からのサンプリングにおける量子高速化を可能にすること。

提案手法

• アルゴリズムは、2つの双対マルコフ連鎖M1とM2を構築し、両者の詳細釣り合い条件を満たすことで、ギブス分布π(x)がその不変測度となるようにする。
• ハイブリッド作用素Mhyb(y|x) = Λ2(x|y)Λ1(y|x)を定義し、ここでΛj(y|x) = √Mj(y|x)とし、M1とM2の固有値と一致する。
• MhybからSzegedy作用素Wを構築し、その固有値を用いて、多段階量子回路Vによる位相推定を実装する。
• ターゲット状態|ψ0⟩ = |√π⟩は位相推定により準備され、その後グローバーの拡散が適用され、この状態の振幅を増幅する。
• |ψ0⟩ = |√π⟩回りの反射作用素Rtarは、制御-V回路を用いて近似され、量子コンピュータ上でのグローバーのアルゴリズムの効率的実装を可能にする。
• 位相推定とグローバーのアルゴリズムを組み合わせることで、O(L/√δ log(L/ǫ))ステップでギブス状態を準備する。ここでL = O(1/√π(x0))であり、ǫは精度を表す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子位相推定とグローバーのアルゴリズムを組み合わせることで、古典的手法より高速なギブスサンプリングが達成可能か？
• RQ2 Szegedy作用素を用いたギブスサンプリングにおけるステップ複雑度の観点から、量子高速化の程度は何か？
• RQ3 マルコフ連鎖の固有値ギャップδが、量子ギブスサンプリングアルゴリズムの性能に与える影響は何か？
• RQ4 ハイブリッド作用素Mhybを用いて、ユニタリな量子ウォークを定義し、ギブス分布を符号化できるか？

主な発見

• 量子アルゴリズムはO(1/√δ)ステップでギブスサンプリングを実行し、古典的手法のO(1/δ)ステップに比べて2乗の高速化を達成する。
• アルゴリズムは、ハイブリッド遷移行列Mhybの固有位相を推定するためのSzegedy作用素Wに対する位相推定を用い、ギブス状態|√π⟩の準備を可能にする。
• |ψ0⟩ = |√π⟩回りの反射作用素Rtarは、制御-V回路を用いてO(√ǫ2)の誤差で近似され、グローバーの拡散の効率的実装を可能にする。
• 最終的なサンプリング分布の総誤差はO(ǫ)で抑えられ、ここでǫ ≈ L√ǫ2であり、Lはグローバー反復回数、ǫ2は位相推定の誤差を表す。
• アルゴリズムのステップ複雑度はO(L/√δ log(L/ǫ))であり、L = O(1/√π(x0))であり、ベイジアンネットワークのサンプリングにおいて精度O(ǫ)を達成する。
• 条件付き確率P(xt+1_i | xt_{i^c})が計算可能であれば、この手法は量子シミュレーテッド・アニーリングやメトロポリス＝ハスティングスサンプリングへ一般化可能である。