[論文レビュー] Quantum gravity in terms of topological observables

Laurent Freidel, Artem Starodubtsev|ArXiv.org|Jan 24, 2005

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 26被引用数 106

ひとこと要約

本稿は、一般相対性理論の非可換性を回避する背景独立なBF作用に、トポロジカルな対称性を破る項を加えた理論として、4次元ユークリッド量子重力の再定式化を試みる。次元なしの結合定数 $\beta = G_N\Lambda$ を用い、物理的正則化子として機能させる。この理論の分配関数は、トポロジカルに不変な観測量の期待値に等しくなることが示され、スピンフォアム技法を用いて、有限で微分同型不変な摂動論が可能になる。

ABSTRACT

We recast the action principle of four dimensional General Relativity so that it becomes amenable for perturbation theory which doesn't break general covariance. The coupling constant becomes dimensionless (G_{Newton} Λ) and extremely small 10^{-120}. We give an expression for the generating functional of perturbation theory. We show that the partition function of quantum General Relativity can be expressed as an expectation value of a certain topologically invariant observable. This sets up a framework in which quantum gravity can be studied perturbatively using the techniques of topological quantum field theory.

研究の動機と目的

• 一般相対性を保ちつつ、固定された背景計量を避けることで、一般共変性を保った4次元量子重力の摂動的定式化を構築すること。
• 一般相対性理論の非可換性を解消するため、微分同型不変性を損なわず摂動論に適した形に作用を再定式化すること。
• 量子重力の分配関数が、対称性が破れたBF理論におけるトポロジカルに不変な観測量の期待値として表現可能であることを示すこと。
• アシュテカール＝ルワンドフスキー測度とスピンフォアム技法を用いて、ゲージ固定された経路積分に対して、量子重力とトポロジカル量子場理論との関係を確立すること。

提案手法

• SO(5)ゲージ群を用いたMcDowell-Mansouri BF理論形式に4次元ユークリッド重力作用を再定式化し、固定されたベクトル $v^I$ を用いてSO(5)対称性をSO(4)に破壊することで、制約項を含むトポロジカルな作用を得る。
• 次元なしの結合定数 $\beta = G_N\Lambda$ を正則化子として導入し、経路積分における $B$-場の大きなフラクチュエーションを、振動的積分によって抑制する。
• アシュテカール＝ルワンドフスキー測度を用いて、微分同型不変かつ正規化されたゲージ接続上の経路積分を定義し、分配関数の有限性を保証する。
• 源 $J$ を結合することで摂動論の生成関数を構成し、ゲージ固定された $BF$ 対称性の下で、$J$ の級数として分配関数を計算する。
• ゲージ自由度の統合よりも先に摂動展開を実行し、$\beta \neq 0$ のときには収束が保証され、経路積分が安定化される。
• コンパクトな量子群 ($q = \exp(i\beta)$) に対するスピンフォアムモデルと状態和構成法を活用し、振幅の有限性とトライアングルレーション依存性の不在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元量子重力は、摂動論において一般共変性を保ち、背景依存性を回避する形で定式化可能だろうか？
• RQ2 一般相対性理論の非可換性は、背景依存的量子化に起因するものだろうか、それとも量子化手続きそのものの結果だろうか？
• RQ3 量子重力の分配関数は、対称性が破れたBF理論枠組みにおけるトポロジカルに不変な観測量の期待値として表現可能だろうか？
• RQ4 イミルツィパラメータ $\beta$ は、背景独立な摂動的量子重力枠組みにおいて、物理的正則化子としてどのように機能するだろうか？
• RQ5 スピンフォアム技法をトポロジカルなBF理論と組み合わせることで、有限で微分同型不変な量子重力の摂動展開が可能だろうか？

主な発見

• 4次元量子重力の分配関数は、SO(5)対称性が破壊されたBF理論におけるトポロジカルに不変な観測量の期待値に等しい。
• $\beta = G_N\Lambda \sim 10^{-120}$ は次元なしで極めて小さいため、一般共変性を損なわず摂動展開が可能である。
• イミルツィパラメータ $\beta$ は物理的正則化子として機能する：$\beta \neq 0$ のとき、$B$-場の大きなフラクチュエーションは振動的積分によって抑制され、収束性が保証される。
• ゲージ自由度の統合よりも先に摂動展開を実行でき、$\beta \neq 0$ のときには積分が収束し、デルタ関数の制約による発散を回避できる。
• アシュテカール＝ルワンドフスキー測度の使用により、一意的で微分同型不変かつ正規化されたゲージ接続上の経路積分が得られ、有限な結果が得られる。
• $q = \exp(i\beta)$ を用いたコンパクトな量子群のスピンフォアムモデルは、有限でトライアングルレーション依存性のない状態和の定式化を提供し、摂動振幅の有限性を支持する。