[論文レビュー] Quantum Group of Orientation preserving Riemannian Isometries

Jyotishman Bhowmick, Debashish Goswami|ArXiv.org|Jun 23, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 25被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、コンパクトなスペクトル三重項における方向を保つリーマン的等長変換の量子群の新しい定式化を提示する。ラプラシアンが「良い」ものでなければならないという要請を避け、ドライバー作用素を直接用いる。ユニタリ作用素がスピンルのヒルベルト空間に作用し、ドライバー作用素と可換であり、ねじれトレースを保存する普遍的なコンパクト量子群の存在を確立する。明示的な計算により、$U_\mu(2)$ と $SO_\mu(3)$ がそれぞれ $SU_\mu(2)$ と $S^2_{\mu c}$ の量子等長変換群であることが示される。

ABSTRACT

We formulate a quantum group analogue of the group of orinetation-preserving Riemannian isometries of a compact Riemannian spin manifold, more generally, of a (possibly $R$-twisted in the sense of a paper of one of the authors, and of compact type) spectral triple. The main advantage of this formulation, which is directly in terms of the Dirac operator, is that it does not need the existence of any `good ' Laplacian as in our previous works on quantum isometry groups. Several interesting examples, including those coming from Rieffel-type deformation as well as the equivariant spectral triples on $SU_μ(2)$ and $S^2_{μ0}$ are dicussed.

研究の動機と目的

• 非可換幾何学における量子等長変換群を定義する際、『良い』ラプラシアンの存在を要請する既存の研究の制限を克服すること。
• ドライバー作用素とねじれトレースに基づいて、方向を保つリーマン的等長変換の量子群を直接定式化すること。
• スピンルのヒルベルト空間にユニタリ作用をもち、ドライバー作用素と可換であり、与えられた忠実な汎関数を保存する普遍的なコンパクト量子群の存在を確立すること。
• ラプラシアンに基づく手法が失敗するリエッフェル型の変形多様体（例：$SU_\mu(2)$ と $S^2_{\mu c}$）を含む枠組みへの拡張。
• 非可換トーラス $\mathcal{A}_\theta$ の標準的スペクトル三重項における量子等長変換群が $C(\mathbb{T}^2)\ast C(\mathbb{T})$ に同型であり、古典的群 $C(\mathbb{T}^2)$ がその縮約版であることを示すこと。

提案手法

• スピンルのヒルベルト空間上にユニタリコ表現をもち、ドライバー作用素と可換であるような、滑らかな方向を保つリーマン的等長変換の量子ファミリーのカテゴリを定義する。
• 正定値可逆作用素 $R$ を用いて非トレース的汎関数 $\tau_R$ を定義するねじれスペクトル三重項の枠組みを導入し、量子群作用がこれを保存することを保証する。
• 固定された忠実な汎関数 $\tau_R$ を保存する量子群の部分カテゴリにおいて、普遍対象を構成し、圏論的普遍性により存在を保証する。
• ヴォロノヴィッチ＝ソルタンの枠組みを用いて、普遍対象に $C^*$-代数的量子群構造（標準的コプロダクトを備える）を定義する。
• リエッフェル型変形に理論を適用する際、$C^*$-代数とスペクトル三重項を行列 $J$ で変形し、変形関手を用いて量子等長変換群を計算する。
• 作用下でのドライバー作用素の不変性とねじれトレースの整合性を用いて、$\widetilde{QISO}^+_R(\mathcal{A}_\theta^\infty, \mathcal{H}, D) \cong C(\mathbb{T}^2)\ast C(\mathbb{T})$ を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換幾何学において、『良い』ラプラシアンの存在を要請しないで、方向を保つリーマン的等長変換の量子群を定義できるか？
• RQ2 スピンルのヒルベルト空間にユニタリ作用をもち、ドライバー作用素と可換であり、与えられたねじれトレースを保存する普遍的なコンパクト量子群が存在するか？
• RQ3 非可換トーラス $\mathcal{A}_\theta$ のリエッフェル型変形スペクトル三重項における量子等長変換群は何か？
• RQ4 ラプラシアンに基づく手法が不適切な $SU_\mu(2)$ および $S^2_{\mu c}$ の同変スペクトル三重項における量子等長変換群は何か？
• RQ5 リエッフェル型変形における量子等長変換群の振る舞いはいかにか？また、古典的および変形量子等長変換群の間には関手的関係が存在するか？

主な発見

• 非可換トーラス $\mathcal{A}_\theta$ の標準的スペクトル三重項における量子等長変換群は $\widetilde{QISO}^+_R(\mathcal{A}_\theta^\infty, \mathcal{H}, D) \cong C(\mathbb{T}^2)\ast C(\mathbb{T})$ に同型であり、その縮約版は $QISO^+(\mathcal{A}_\theta^\infty) = C(\mathbb{T}^2)$ である。
• $SU_\mu(2)$ の同変スペクトル三重項に対しては、量子等長変換群は $U_\mu(2)$ であり、ねじれトレースを保存する普遍対象として実現される。
• 変形球面 $S^2_{\mu c}$ のスペクトル三重項に対しては、量子等長変換群は $SO_\mu(3)$ であり、以前の研究の結果を確認する。
• 量子等長変換群の構成はリエッフェル変形と整合する：$\widetilde{QISO}^+_R(\mathcal{A}_J^\infty, \mathcal{H}, D) \cong (\widetilde{QISO}^+_R(\mathcal{A}^\infty, \mathcal{H}, D))_{\widetilde{J}}$（変形パラメータ $J$ に対して）、関手的性質を示す。
• 固定された忠実な汎関数 $\tau_R$ を保存する量子群の部分カテゴリにおいて、普遍対象の存在が保証される。これは、全カテゴリが普遍対象を含まない場合でも成り立つ。
• ドライバー作用素に基づく定式化は、従来のラプラシアンに基づくアプローチでは取り扱えなかった $SU_\mu(2)$ および $S^2_{\mu c}$ のスペクトル三重項に対しても成功裏に適用可能である。