[論文レビュー] Quantum-inspired classical sublinear-time algorithm for solving low-rank semidefinite programming via sampling approaches

Nai-Hui Chia, Tongyang Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2019

Stochastic Gradient Optimization Techniques被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、制約行列へのサンプリングに基づくアクセスを活用して、低ランクな半定値計画問題（SDP）を古典的でサブ線形時間のアルゴリズムで解く手法を提示している。量子SDPソルバーと同等の漸近的性能を達成する。行列和と固有値分解の効率的近似を可能にするために、重み付きサンプリングおよび対称的近似技術を導入し、サンプリングに基づくデータ構造を用いることで、O(m·poly(log n, 1/ε)) 時間で解行列の要素を計算可能となる。

ABSTRACT

Semidefinite programming (SDP) is a central topic in mathematical optimization with extensive studies on its efficient solvers. Recently, quantum algorithms with superpolynomial speedups for solving SDPs have been proposed assuming access to its constraint matrices in quantum superposition. Mutually inspired by both classical and quantum SDP solvers, in this paper we present a sublinear classical algorithm for solving low-rank SDPs which is asymptotically as good as existing quantum algorithms. Specifically, given an SDP with $m$ constraint matrices, each of dimension $n$ and rank $\mathrm{poly}(\log n)$, our algorithm gives a succinct description and any entry of the solution matrix in time $O(m\cdot\mathrm{poly}(\log n,1/\varepsilon))$ given access to a sample-based low-overhead data structure of the constraint matrices, where $\varepsilon$ is the precision of the solution. In addition, we apply our algorithm to a quantum state learning task as an application. Technically, our approach aligns with both the SDP solvers based on the matrix multiplicative weight (MMW) framework and the recent studies of quantum-inspired machine learning algorithms. The cost of solving SDPs by MMW mainly comes from the exponentiation of Hermitian matrices, and we propose two new technical ingredients (compared to previous sample-based algorithms) for this task that may be of independent interest: $\bullet$ Weighted sampling: assuming sampling access to each individual constraint matrix $A_{1},\ldots,A_{ au}$, we propose a procedure that gives a good approximation of $A=A_{1}+\cdots+A_{ au}$. $\bullet$ Symmetric approximation: we propose a sampling procedure that gives low-rank spectral decomposition of a Hermitian matrix $A$. This improves upon previous sampling procedures that only give low-rank singular value decompositions, losing the signs of eigenvalues.

研究の動機と目的

• 低ランク半定値計画問題（SDP）を解く古典的アルゴリズムを構築し、最近の量子アルゴリズムと同等の漸近的性能を達成すること。
• 制約行列のサンプリングに基づくデータ構造が与えられた場合、解行列の個々の要素へのアクセスを行列次元nに対してサブ線形時間で行えるようにすること。
• スペクトル近似と固有値の符号の保存性の面で従来手法を改善するサンプリングに基づく技術を導入することで、古典的および量子SDPソルバーの橋渡しをすること。
• 量子状態学習への応用を通じて、量子情報処理タスクにおける実用的意義を示すこと。

提案手法

• アルゴリズムは、各行列Aᵢから適切な重みでサンプリングすることで、制約行列の和A₁ + ⋯ + Aₘを近似する重み付きサンプリングを用いる。
• エルミート行列Aの低ランク固有値分解を構築する対称的近似手順を導入し、固有値の符号を保存する。これは、従来の手法が単に特異値分解を提供するのとは対照的である。
• 行列乗法的重み（MMW）フレームワークに着目し、行列へのサンプリングアクセスを前提とした古典的計算に適応する。
• 制約行列のサンプリングに基づくデータ構造へのアクセスを仮定し、要素へのクエリアクセスおよび行・列からのサンプリングを効率的に行えるようにする。
• 低ランク行列（ランクがpoly(log n））の構造を活用することで、MMWベースのソルバーにおける主要なボトル neck である行列指数関数の計算コストを低減する。
• 解行列は簡潔に表現され、精度εで任意の要素をO(m·poly(log n, 1/ε)) 時間で取得可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的アルゴリズムは、量子アルゴリズムと同等の漸近的性能を達成しつつ、低ランクSDPをサブ線形時間で解くことができるか？
• RQ2 MMWフレームワークにおける行列指数関数を、制約行列へのサンプリングアクセスのみで効率的に近似できるか？
• RQ3 サンプリングに基づく手法は、エルミート行列の低ランク近似において、従来の手法とは異なり固有値の符号を保存できるか？
• RQ4 SDPの解行列に対するサブ線形時間の要素アクセスを実現するために、最小限のデータ構造のオーバーヘッドが必要か？
• RQ5 この古典的アプローチは、量子状態学習タスクに効果的に応用可能であり、実用的意義を示せるか？

主な発見

• アルゴリズムは、解行列の任意の要素をO(m·poly(log n, 1/ε)) 時間で計算可能であり、行列次元nに対してサブ線形依存を達成している。
• 提案された重み付きサンプリング手順により、個々の行列へのサンプリングアクセスのみで制約行列の和の良好な近似が可能である。
• 対称的近似技術により、固有値の符号を保存する低ランク固有値分解が可能となり、従来の特異値に基づくサンプリング手法とは顕著な改善が図られている。
• 方法は量子SDPソルバーと同等の漸近的複雑度を達成し、量子ハードウェアを必要としない古典的で効率的な代替手段を提供する。
• アルゴリズムは量子状態学習に応用可能であり、理論的最適化を超えた実用的意義を示している。
• 低ランク構造とサンプリングを活用することで、MMWフレームワークにおける行列指数関数の計算コストを低減している。