[論文レビュー] Quantum-inspired classical algorithms for principal component analysis and supervised clustering.

Ewin Tang|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 62

ひとこと要約

この論文は、主成分分析および教師ありクラスタリングの古典的アルゴリズムを提示しており、それらはLloydたるの量子アルゴリズムの効率を模倣している。入力データの$β^2$-ノルムの効率的サンプリングを仮定することで、古典的アルゴリズムは入力サイズに関して多項式対数的実行時間に達し、量子高速化の漸近的複雑さと一致するが、多項式の遅延のみを伴う。これは、これらの問題に対して指数的量子優位性が存在しないことを示唆している。

ABSTRACT

We describe classical analogues to Lloyd et al.'s quantum algorithms for principal component analysis and nearest-centroid clustering. We introduce a classical algorithm model that assumes we can efficiently perform $\ell^2$-norm samples of input data, a natural analogue to quantum algorithms assuming efficient state preparation. In this model, our classical algorithms run in time polylogarithmic in input size, matching the runtime of the quantum algorithms with only polynomial slowdown. These algorithms indicate that their corresponding problems do not yield exponential quantum speedups.

研究の動機と目的

• 主成分分析および最近傍重心クラスタリングのための量子アルゴリズムの古典的類似物を開発すること。
• これらの問題における量子高速化が指数的か、単に多項式的かを特定すること。
• 量子状態準備に類似した効率的な$β^2$-ノルムサンプリングに基づく古典的計算モデルを形式化すること。
• 古典的アルゴリズムの実行時間が、量子バージョンの多項式対数的スケーリングと一致することを示すこと、多項式の遅延を除いて。

提案手法

• アルゴリズムモデルは、量子アルゴリズムにおける量子状態準備に類似した、入力データベクトルの効率的$β^2$-ノルムサンプリングへのアクセスを仮定する。
• 古典的アルゴリズムは、完全なデータアクセスなしに特異ベクトルおよび重心を近似するために反復的サンプリングと推定技術を用いる。
• ランダム射影と分散低減を活用して、主成分およびクラスタ重心を正確に推定する。
• 実行時間の解析により、アルゴリズムが入力サイズに関して多項式対数的にスケーリングすることを示し、量子アルゴリズムの漸近的効率と一致する。
• 明示的な行列逆行列計算や完全なSVDを避けるために、重要な成分のサンプリングに基づく推定に依存する。
• モデルにより、古典的アルゴリズムが量子対応物と同等の漸近的複雑さを達成でき、多項式要因を除いて一致する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的アルゴリズムは、主成分分析について、量子アルゴリズムと同等の実行時間複雑度を達成できるか？
• RQ2 PCAおよびクラスタリングにおける量子高速化は、指数的か、単に多項式的か？
• RQ3 量子アルゴリズムのプリミティブ（例：状態準備）の効率的シミュレーションを可能にする古典的計算モデルは何か？
• RQ4 これらの量子アルゴリズムが解く問題は、古典的手法に対して指数的高速化を示すか？
• RQ5 $β^2$-ノルムサンプリングの役割は、線形代数的演算の効率的古典的計算を可能にするものか？

主な発見

• 古典的アルゴリズムは、入力サイズに関して多項式対数的実行時間を達成し、量子アルゴリズムの漸近的効率と一致する。
• 古典的アプローチは、量子アルゴリズムの複雑さを多項式の遅延を除いて再現しており、指数的量子優位性が存在しないことを示唆する。
• $β^2$-ノルムサンプリングをプリミティブとして用いることで、量子アルゴリズム的ステップの効率的古典的シミュレーションが可能になる。
• 結果として、PCAおよび最近傍重心クラスタリングの問題は、指数的量子高速化を示さないことが示唆される。
• フレームワークにより、量子にインspiredされた古典的アルゴリズムが、現実的なサンプリング仮定のもとで量子アルゴリズムの効率を再現できることを示している。