[論文レビュー] Quantum-Inspired Sublinear Algorithm for Solving Low-Rank Semidefinite Programming

Nai-Hui Chia, Tongyang Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、サンプリングに基づくデータ構造を用いて、低ランクの半定値計画問題（SDP）を解く古典的で、量子にインspiredなサブラインアールタイムアルゴリズムを提示する。行列乗法的重みフレームワークと、行列和の近似に向けた重み付きサンプリングおよびスペクトル分解のための対称的近似という、新たなサンプリング技術を組み合わせることで、O(m · poly(log n, r, 1/ε)) の実行時間となり、低ランク制約下では古典的手法よりも多項式的スピードアップを達成し、解行列の要素ごとのアクセスおよびスペクトル分解を効率的に行える。

ABSTRACT

Semidefinite programming (SDP) is a central topic in mathematical optimization with extensive studies on its efficient solvers. In this paper, we present a proof-of-principle sublinear-time algorithm for solving SDPs with low-rank constraints; specifically, given an SDP with $m$ constraint matrices, each of dimension $n$ and rank $r$, our algorithm can compute any entry and efficient descriptions of the spectral decomposition of the solution matrix. The algorithm runs in time $O(m\cdot\mathrm{poly}(\log n,r,1/\varepsilon))$ given access to a sampling-based low-overhead data structure for the constraint matrices, where $\varepsilon$ is the precision of the solution. In addition, we apply our algorithm to a quantum state learning task as an application. Technically, our approach aligns with 1) SDP solvers based on the matrix multiplicative weight (MMW) framework by Arora and Kale [TOC '12]; 2) sampling-based dequantizing framework pioneered by Tang [STOC '19]. In order to compute the matrix exponential required in the MMW framework, we introduce two new techniques that may be of independent interest: $\bullet$ Weighted sampling: assuming sampling access to each individual constraint matrix $A_{1},\ldots,A_τ$, we propose a procedure that gives a good approximation of $A=A_{1}+\cdots+A_τ$. $\bullet$ Symmetric approximation: we propose a sampling procedure that gives the \emph{spectral decomposition} of a low-rank Hermitian matrix $A$. To the best of our knowledge, this is the first sampling-based algorithm for spectral decomposition, as previous works only give singular values and vectors.

研究の動機と目的

• 低ランク半定値計画問題（SDP）に対して、量子アルゴリズムで先行して得られた指数的スピードアップと同等のサブラインアールタイムを達成する古典的アルゴリズムの開発。
• 制約行列へのサンプリングアクセスのみを前提として、行列指数関数およびスペクトル分解を、行列乗法的重み（MMW）フレームワーク内で効率的に計算する課題に対処すること。
• 要素ごとのクエリアクセスおよびスペクトル情報抽出が可能な、迅速なスパムな解行列の表現を提供すること。
• シャドウトモグラフィーを通じた量子状態学習への応用により、実用的適用性を示すこと。
• 低ランク仮定下で、タングのブレークスラッグにインspiredしたデキュアンタイゼーション技術を用いて、量子SDPソルバーの古典的代替を確立すること。

提案手法

• 行列乗法的重み（MMW）フレームワークを活用し、反復的に重み行列とギブス状態を更新することで、SDPの最適解を近似する。
• 個々の行列へのサンプリングアクセスを用いて、低ランクエルミート行列 A1 + ... + Aτ の和を近似する、新たな重み付きサンプリング手順を導入する。
• 低ランクエルミート行列のスペクトル分解からサンプリングする対称的近似技術を提案し、サンプリングにより固有値と固有ベクトルの両方を提供する。
• サンプリングおよびノルムクエリアクセスが可能なデータ構造を採用し、各操作がO(poly(log n))時間で可能となるよう設計され、サブラインアール複雑性の実現に不可欠である。
• 各反復で、アルゴリズム4〜6を用いた確率的推定により、Tr[Ajtρt] を高確率かつ誤差が制御された範囲で近似する。
• 最適化問題の全解法を達成するため、妥当性サブルーチンを用いて目的値の二分探索を実施しつつ、スパムな解の表現を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制約行列へのサンプリングアクセスがある条件下で、低ランクSDPに対して、量子アルゴリズムが示した指数的スピードアップと同等のサブラインアールタイムを達成できる古典的アルゴリズムは存在するか？
• RQ2 行列の全行列アクセスではなく、要素へのサンプリングアクセスのみを前提として、低ランクエルミート行列のスペクトル分解からサンプリングすることは可能か？
• RQ3 MMWフレームワークで必要とされる行列指数関数およびギブス状態の計算を、サンプリングベースの技術によって効率的に近似できるか？
• RQ4 SDPの解をどのようにしてスパムに表現すれば、要素ごとのクエリアクセスおよびスペクトル分解が効率的に行えるか？
• RQ5 この古典的アプローチは、シャドウトモグラフィーのような量子状態学習タスクに、量子アルゴリズムと同等の効率で適用可能か？

主な発見

• m 個の制約行列（次元 n、ランク r）を持つ低ランクSDPに対して、実行時間が O(m · poly(log n, r, 1/ε)) となる。n に対してサブラインアール依存を達成する。
• 解行列のスパムな表現が可能で、トップ固有値、固有ベクトル、および任意の特定の要素へのアクセスが迅速に行える。
• スペクトル分解は、固有値と固有ベクトルの両方を回復できる、新たな対称的サンプリング手順により近似される。これは、低ランクエルミート行列に対して、固有値と固有ベクトルの両方を回復できる最初のサンプリングベースの手法である。
• 誤差が ϵ と δ で制御された確率的推定により、Tr[Ajtρt] の高確率近似が達成される。
• シャドウトモグラフィーへの応用において、高確率で時間 O(m · poly(log n, 1/ϵ, log(1/δ), r)) で問題を解くことが可能である。
• 実行時間の複雑性は、主にスペクトル分解のステップに支配され、r および 1/ϵ に対して多項式的オーバーヘッドを有するが、より洗練された解析によりこれを短縮可能である可能性がある。