[論文レビュー] Quantum Isometry Groups of 0- Dimensional Manifolds

Jyotishman Bhowmick, Debashish Goswami+1 more|ArXiv.org|Jul 27, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 5被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、0次元の非可換多様体、特にAF C*-代数上のスペクトル三重項における量子等長群が、断片的なBratteli図の量子対称群の帰納的極限として生じることを確立する。カントール集合の量子等長群を明示的に計算し、有限距離空間およびグラフの量子対称群が、自然なラプラシアンを備えたそれらの古典的同型物の量子等長群と一致することを示す。

ABSTRACT

Quantum isometry groups of spectral triples associated with approximately finite-dimensional C*-algebras are shown to arise as inductive limits of quantum symmetry groups of corresponding truncated Bratteli diagrams. This is used to determine explicitly the quantum isometry group of the natural spectral triple on the algebra of continuous functions on the middlethird Cantor set. It is also shown that the quantum symmetry groups of finite graphs or metric spaces coincide with the quantum isometry groups of the corresponding classical objects equipped with natural Laplacians.

研究の動機と目的

• 0次元の非可換多様体、特にAF C*-代数上のスペクトル三重項の量子等長群を定義し、計算すること。
• AF代数の量子等長群と断片的なBratteli図の量子対称群との間の関係を確立すること。
• 有限距離空間およびグラフの既存の量子対称群の枠組みと、量子等長群の枠組みを統合すること。
• 量子等長群の概念を一般のコンパクト距離空間へと拡張し、[0,1]およびS¹の普遍的な例を計算すること。
• 積空間の量子等長群が、古典的等長群と同様に積構造を保存しないことがあることを示すこと。

提案手法

• AF代数に関連するBratteli図の有限次元断片化に対する量子対称群の帰納的極限として、量子等長群を構成する。
• Connesのスペクトル三重項の枠組みと[Gos]および[BG1]における量子等長群の構成を、AF代数に適用する。
• AF代数へのChristensen-Ivanのスペクトル三重項構成を用いて、0次元の非可換空間にリーマン的構造を定義する。
• コンパクトな量子群のスペクトル三重項への作用を、計量演算子のテンソル積展開における係数の比較によって分析する。
• コムルティケーションの係数に対する正値性および自己随伴性の制約を用いて、量子群の構造的性質を導出する。
• [BG1]における線形量子群作用の結果を応用し、S¹および[0,1]などの特定の場合において、量子群が可換であることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 0次元の非可換多様体、特にAF C*-代数の量子等長群は、どのように有限次元近似から生じるか？
• RQ2 Connesのスペクトル三重項を備えた中点3分の1カントール集合の量子等長群は何か？
• RQ3 有限グラフまたは距離空間の量子対称群は、自然なラプラシアンを備えたそれらの古典的同型物の量子等長群と一致するか？
• RQ4 量子等長群の概念を任意のコンパクト距離空間へ一般化できるか？その場合の普遍的量子群は何か？
• RQ5 積空間の量子等長群は、古典的等長群と同様に積構造を保存するのだろうか？

主な発見

• 自然なスペクトル三重項を備えたカントール集合の量子等長群は、断片的なBratteli図の量子対称群の帰納的極限として明示的に計算された。
• 可換なAF代数に対しては、対応する有限次元断片化の量子等長群は、断片的なBratteli図の量子対称群と同型である。
• BanicaとBichonが定義した有限距離空間の量子対称群は、自然なラプラシアンを備えた関数代数の量子等長群と一致する。
• 有限グラフの量子対称群は、経路長距離を備えた対応する距離空間の量子等長群と同型である。
• [0,1]に対しては、量子等長群が可換であり、C(S¹ ⋊ Z₂)に同型であることが示され、非古典的量子等長群が存在しないことが示された。
• S¹に対しても、量子等長群は可換であり、C(S¹ ⋊ Z₂)に同型であることが確認され、この場合にも非自明な量子等長群は存在しないことが裏付けられた。