[論文レビュー] Quantum locally linear embedding for nonlinear dimensionality reduction

Xi He, Li Sun+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 36被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、量子計算を用いた非線形次元削減のための2つの量子アルゴリズム—線形代数に基づくQLLEと変分的QLLE（VQLLE）—を提案する。線形代数に基づくQLLEは、量子線形代数サブルーチンを活用することで、古典的LLEのO(poly(N))の複雑さに対して指数的高速化を達成する。一方、VQLLEはハイブリッドな量子古典的変分的手法により、近い未来の量子デバイスへの実装を可能にし、数値実験において両者ともデータの多様体構造を効果的に保持していることが示された。

ABSTRACT

Reducing the dimension of nonlinear data is crucial in data processing and visualization. The locally linear embedding algorithm (LLE) is specifically a representative nonlinear dimensionality reduction method with well maintaining the original manifold structure. In this paper, we present two implementations of the quantum locally linear embedding algorithm (QLLE) to perform the nonlinear dimensionality reduction on quantum devices. One implementation, the linear-algebra-based QLLE algorithm, utilizes quantum linear algebra subroutines to reduce the dimension of the given data. The other implementation, the variational quantum locally linear embedding algorithm (VQLLE) utilizes a variational hybrid quantum-classical procedure to acquire the low-dimensional data. The classical LLE algorithm requires polynomial time complexity of $N$, where $N$ is the global number of the original high-dimensional data. Compared with the classical LLE, the linear-algebra-based QLLE achieves quadratic speedup in the number and dimension of the given data. The VQLLE can be implemented on the near term quantum devices in two different designs. In addition, the numerical experiments are presented to demonstrate that the two implementations in our work can achieve the procedure of locally linear embedding.

研究の動機と目的

• 高次元の非線形データにおける古典的局所線形埋め込み（LLE）の計算ボトル neck を克服するための量子代替手法を開発すること。
• 量子アルゴリズムを用いて非線形次元削減における量子高速化を実現すること。
• 近い未来のノイズの多い中規模量子（NISQ）デバイスと互換性を持つ、変分的ハイブリッド量子古典的アプローチ（VQLLE）を設計すること。
• 量子強化LLEを用いて、次元削減の過程でデータの内在的多様体構造を保持すること。
• 数値実験を通じて、量子LLE実装の実現可能性と性能を検証すること。

提案手法

• LLE最適化問題をO(poly(log N))時間で解ける線形代数に基づくQLLEを提案し、量子線形代数サブルーチンを活用することで、古典的LLEのO(poly(N))の複雑さに対して指数的高速化を達成する。
• 前処理段階で量子k-NNアルゴリズムを採用し、データサイズに対して二乗の高速化を達成する。
• 低次元埋め込みを最適化するためのパラメータ化された量子回路を用いた変分的ハイブリッド量子古典的手法をVQLLEに設計する。
• NISQ時代の量子ハードウェアに適した2つのVQLLEの変種—エンドツーエンド型と行列乗算ベース型—を導入する。
• ラグランジュ乗数法を用いて重み行列Wと埋め込み行列Yを導出し、LLEの目的関数を制約付き固有値問題に再定式化する。
• 量子位相推定と量子特異値変換技術を適用し、ユニバーサル量子コンピュータ上でLLEアルゴリズムの線形代数的要素を効率的に解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子アルゴリズムは、古典的LLEと比較して非線形次元削減において顕著な高速化を達成できるか？
• RQ2 限られた量子ビットのコher と回路深さを持つ近い未来の量子デバイスに、LLEアルゴリズムをどのように適合できるか？
• RQ3 多様体構造の保持という観点から、ユニバーサル量子アルゴリズム（QLLE）と変分的ハイブリッド手法（VQLLE）の間には、どのような性能的トレードオフがあるか？
• RQ4 量子強化k-NN探索は、QLLEの前処理段階の効率を向上させることができるか？
• RQ5 VQLLEにおける異なるパラメータ化された量子回路設計は、得られる低次元埋め込みの品質にどのように影響するか？

主な発見

• 線形代数に基づくQLLEは、古典的LLEのO(poly(N))からO(poly(log N))にまで時間計算量を削減し、指数的高速化を達成した。
• VQLLEは、変分的ハイブリッド量子古典的フレームワークを用いることで、近い未来の量子デバイスに実装可能であり、現在のハードウェア制約に対しても実現可能である。
• 数値実験により、両方のQLLE実装が局所線形埋め込みを効果的に実行し、データの内在的多様体構造を保持していることが確認された。
• 数値評価において、VQLLEの変種が線形代数に基づくQLLEよりも優れたグローバル構造の保持を示した。
• 量子k-NNサブルーチンにより、QLLEの前処理段階における最近傍探索の効率が二乗の高速化を達成した。