[論文レビュー] Quantum Merlin-Arthur with noisy channel

Tomoyuki Morimae, Keisuke Fujii+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、メルリンとアーサーの間のノイズのある量子チャネルを想定した量子メルリン・アーサー（QMA）を調査し、アーサーが1キュービット測定に制限されている場合でも、計算能力が標準的QMAと同等に保たれることを示している。著者らは、誤り訂正可能なノイズのあるグラフ状態を受け入れる緩めの安定化子テストを導入し、ノイズのあるリソース上でも誤り耐性のある測定ベース量子計算を実現可能にした。これにより、最小限の検証者能力のもとで、現実的なノイズ条件下でのQMAのロバスト性が証明された。

ABSTRACT

What happens if in QMA the quantum channel between Merlin and Arthur is noisy? It is not difficult to show that such a modification does not change the computational power as long as the noise is not too strong so that errors are correctable with high probability, since if Merlin encodes the witness state in a quantum error-correction code and sends it to Arthur, Arthur can correct the error caused by the noisy channel. If we further assume that Arthur can do only single-qubit measurements, however, the problem becomes nontrivial, since in this case Arthur cannot do the universal quantum computation by himself. In this paper, we show that such a restricted complexity class is still equivalent to QMA. To show it, we use measurement-based quantum computing: honest Merlin sends the graph state to Arthur, and Arthur does fault-tolerant measurement-based quantum computing on the noisy graph state with only single-qubit measurements. By measuring stabilizer operators, Arthur also checks the correctness of the graph state. Although this idea itself was already used in several previous papers, these results cannot be directly used to the present case, since the test that checks the graph state used in these papers is so strict that even honest Merlin is rejected with high probability if the channel is noisy. We therefore introduce a more relaxed test that can accept not only the ideal graph state but also noisy graph states that are error-correctable.

研究の動機と目的

• メルリンとアーサーの間の量子チャネルがノイズを含む場合のQMAの計算能力を調査すること、特にアーサーが1キュービット測定しか行えない制約下での計算能力を明らかにすること。
• 標準的安定化子テストがノイズ下で失敗する理由を解明すること、すなわち、正当なメルリンのノイズのある状態ですら、誤り訂正可能であっても拒否されてしまうこと。
• 理想的なグラフ状態だけでなく、量子誤り訂正によって補正可能なノイズのあるグラフ状態も受け入れる、耐障害性の高い検証プロトコルの開発。
• ノイズのあるグラフ状態上で、1キュービット測定のみを用いても、誤り耐性のある測定ベース量子計算を実現できることを示し、QMA完全性を保持すること。

提案手法

• 一般のノイズのあるチャネルを想定した複雑度クラス ${\rm QMA}_{\mathcal{E}}$ と、1キュービット測定制限がある場合のクラス ${\rm QMA}_{{\mathcal{E}},{\rm single}}$ を定義する。
• 量子誤り訂正による補正が可能な限り、ノイズのあるグラフ状態を受け入れる緩めの安定化子テストを提案する。これは、先行研究における厳密なテストとは対照的である。
• メルリンがグラフ状態を送信し、アーサーがそのノイズのある状態に対して適応的1キュービット測定を用いてユニバーサルな量子計算を実行する、測定ベース量子計算（MBQC）を用いる。
• 誤り耐性のある方式（例：スティーン7キュービットコード、サーフェスコード）を用いて、ノイズのあるグラフ状態上の誤りを補正し、正しい計算出力を保証する。
• 誤り耐性のある測定ベース方式のPOVM下で計算出力が保存される誤りを「補正可能誤り」と定義する。
• 誤り補正可能性を定量化するためのトレース条件 $\mathrm{Tr}\left(\sum_{u\in\Gamma}|G_u\rangle\langle G_u|{\mathcal{E}}_n(|G\rangle\langle G|)\right) \geq 1-\delta$ を用いる。ここで $\delta$ は無視できるか、小さな定数である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーサーが1キュービット測定に制限されている場合、ノイズのあるチャネルを介したQMAも、依然としてその全計算能力を維持できるか？
• RQ2 なぜ標準的安定化子テストは、ノイズのあるチャネル下で失敗するのか？特に、誤りが補正可能であっても、正当なメルリンのノイズのある状態を拒否してしまうのか？
• RQ3 誤り訂正可能なノイズのあるグラフ状態を受け入れつつ、QMAプロトコルの健全性と完全性を保つ、緩めの検証テストは存在するか？
• RQ4 ノイズのあるグラフ状態上で、1キュービット測定のみを用いても、誤り耐性のある測定ベース量子計算を実現できるか？
• RQ5 どのようなノイズチャネルの条件下で、量子計算の出力が補正可能であり、理想状態と区別できないままであるか？

主な発見

• ${\rm QMA}_{{\mathcal{E}},{\rm single}}$ は、ノイズが強くなければ標準的QMAと同等である。これは、誤りが高確率で補正可能であることを意味する。
• 緩めの安定化子テストを提案し、理想的な状態だけでなく、誤り訂正可能なノイズのあるグラフ状態も受け入れる。これにより、先行研究の厳密なテストがノイズ下で高い拒否率を示すのを回避できる。
• トレース条件 $\mathrm{Tr}\left(\sum_{u\in\Gamma}|G_u\rangle\langle G_u|{\mathcal{E}}_n(|G\rangle\langle G|)\right) \geq 1-\delta$ により補正可能性が保証され、自然な局所的ノイズモデルでは $\delta = 2^{-\mathrm{poly}(n)}$ となる。
• 誤り耐性のある測定ベース量子計算は、ノイズのあるグラフ状態上で1キュービット測定のみを用いて実現可能であり、ノイズが誤り訂正可能範囲内であれば成立する。
• 主な洞察は、チャネルがグラフ状態を損なっても、誤りが補正可能であれば、アーサーは依然としてユニバーサルな量子計算を実行でき、緩めのテストにより正しさを検証できるということである。
• 本研究は、1キュービット検証者に関する先行研究を拡張し、現実的なノイズに対するロバスト性を示した。これにより、QMAモデルはより物理的に現実的なものとなった。