[論文レビュー] Quantum NP - A Survey

Dorit Aharonov, Tomer Naveh|ArXiv.org|Oct 11, 2002

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 12被引用数 114

ひとこと要約

このサーベイは、5-局所的相互作用に対する局所ハミルトニアン問題がQMA-完全であるというキタエフの基礎的結果を提示している。これはNP完全性の量子版を確立するものであり、古典的Cook-Levin定理を量子計算へと拡張し、多項式時間の量子検証者が量子証明を検証することを、局所ハミルトニアンの基底状態エネルギーの推定に還元することを示している。これにより、古典的NP完全性とは顕著な相違が生じ、量子計算複雑性理論における主要な未解決問題が浮き彫りになる。

ABSTRACT

We describe Kitaev's result from 1999, in which he defines the complexity class QMA, the quantum analog of the class NP, and shows that a natural extension of 3-SAT, namely local Hamiltonians, is QMA complete. The result builds upon the classical Cook-Levin proof of the NP completeness of SAT, but differs from it in several fundamental ways, which we highlight. This result raises a rich array of open problems related to quantum complexity, algorithms and entanglement, which we state at the end of this survey. This survey is the extension of lecture notes taken by Naveh for Aharonov's quantum computation course, held in Tel Aviv University, 2001.

研究の動機と目的

• 量子証拠と多項式時間の量子検証者を用いた量子検証を形式化することで、QMAとして定義されるNPの量子アナログを確立すること。
• 5-局所的ハミルトニアン問題がQMA-完全であることを示し、古典的SAT完全性を量子領域へ一般化すること。
• 古典的NP完全性（Cook-Levinによるもの）とその量子版との根本的な相違を明確にすること。特に、量子重ね合わせ、もつれ、測定確率の確率的性質の役割に焦点を当てる。
• QMAとQCMAの関係、低局所性ハミルトニアンの複雑性、量子PCP定理の可能性を含む、量子計算複雑性における未解決問題を強調すること。

提案手法

• QMAをMAの量子アナログとして定義する。ここで、量子多項式時間検証者が、yesインスタンスでは少なくとも2/3の確率で受理し、noインスタンスでは1/3以下の確率で受理する。
• 与えられた量子計算をシミュレートする量子回路を構築し、キタエフの歴史状態構成法を用いて、それを局所ハミルトニアンに変換する。これにより、計算の進化が量子状態に符号化される。
• 構築されたハミルトニアンの基底状態のエネルギーを用いて、検証者の受理確率を決定する。低エネルギーは高い受理確率に対応する。
• 基底状態エネルギーが閾値未満であることは、検証者を納得させる有効な量子証拠が存在することと同値であることを証明する。これによりQMA-完全性が確立される。
• 得られたハミルトニアンの局所性を分析し、5キュービット相互作用が完全性を達成するのに十分であることを示し、この閾値の意味を議論する。
• 古典的NP証明構造と比較し、検証における量子重ね合わせ、もつれ、測定結果の確率的性質の役割に焦点を当てる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 5-局所的ハミルトニアン問題はQMA-完全であるか？また、QMA-完全性を達成するために必要な最小の局所性は何か？
• RQ2 古典的複雑性理論と同様に、QMAの両側エラーと片側エラーは等しいか？
• RQ3 QCMAはQMAに等しいか？また、すべての量子証拠状態は、量子回路の古典的記述によって効率的に生成可能か？
• RQ4 局所ハミルトニアンの基底状態は、多項式サイズの量子回路によって生成可能か？これは、回路からハミルトニアンへの写像の逆を構成的に行うことを意味する。
• RQ5 PCP定理の量子アナログは存在するか？すなわち、量子ハミルトニアン問題の近似困難性を示唆するか？

主な発見

• 5-局所的ハミルトニアン問題はQMA-完全であり、これは古典的3-SAT完全性の量子アナログとして確立される。
• この構成は、キタエフの歴史状態符号化に依存しており、量子計算を5体相互作用を伴う局所ハミルトニアンの基底状態に符号化する。
• 基底状態エネルギーが閾値未満であることは、量子検証者が有効な証拠を少なくとも2/3の確率で受理することと同値であり、検証とエネルギー最小化を結びつける。
• 構築されたハミルトニアンのスペクトルギャップは、T（計算時間）に対してΩ(1/T³)のスケーリングを示し、基底状態が正しい計算を正しく符号化することを保証する。
• 証明は、重ね合わせともつれを用いた量子検証が、古典的NP検証とは根本的に異なることを示しており、確率的受理と測定に基づく検証を必要とすることを強調する。
• この結果は、2-, 3-, または4-局所ハミルトニアンが既にQMA-完全であるかどうか、5-局所性を必要とするのかという未解決の問題を提起する。