[論文レビュー] Quantum Ordered Binary Decision Diagrams with Repeated Tests

Matthias Homeister, Stephan Waack|ArXiv.org|Jul 27, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、繰り返し変数テストを許可する量子順序付き決定的図式（QOBDD）を調査し、このようなモデルが、多項式サイズのk-QOBDD（k ≥ 1）を、多項式サイズの標準QOBDDのみを用いてシミュレートできることを示している。主な貢献は、テンソル積状態とユニタリ変換を用いた構成的シミュレーション手法であり、繰り返しテストが標準多項式サイズQOBDDがすでに達成可能な計算能力を越えて計算パワーを向上させないことを証明している。

ABSTRACT

Quantum branching programs (quantum binary decision diagrams, respectively) are a convenient tool for examining quantum computations using only a logarithmic amount of space. Recently several types of restricted quantum branching programs have been considered, e. g. read--once quantum branching programs. This paper considers quantum ordered binary decision diagrams (QOBDDs) and answers the question: How does the computational power of QOBDDs increase, if we allow repeated tests. Additionally it is described how to synthesize QOBDDs according to Boolean operations.

研究の動機と目的

• 繰り返し変数テストを許可した場合の量子順序付き2分決定図式（QOBDD）の計算パワーがどのように向上するかを調査すること。
• QOBDDにおける繰り返しテストが、標準QOBDDでは到達できない関数の計算を可能にするかを特定すること。
• 標準QOBDDを用いてk-QOBDDを多項式サイズのオーバーヘッドで構成的シミュレートする方法を開発すること。
• 特に、量子計算複雑度クラスに関連して、繰り返しテスト下でのQOBDDの表現力に関する理論的限界を確立すること。
• ブール演算を介したQOBDDの合成フレームワークを提供し、量子意思決定図式の実用的構築を可能にすること。

提案手法

• 各成分が個別のQOBDD計算経路を表す幅w^kのテンソル積空間を用いて、k-QOBDDのシミュレーションを構築する。
• 初期状態のすべての可能な状態の重ね合わせを準備するユニタリ変換Vを定義し、受理・拒否用の補助状態|t₀⟩と|t₁⟩を含める。
• 入力aに対してk個の独立したQOBDDの同時進化をシミュレートするために、Uᵢ(a) = U₁(a) ⊗ … ⊗ Uₖ(a)というテンソル積ユニタリ操作を用いる。
• 状態空間D′ = D⊗ ∪ {|t₀⟩, |t₁⟩}を有する新たなQOBDD ℬ′を定義する。ここでD⊗は元の状態空間のk個のコピーのテンソル積を表す。
• T′ᵢ^εがD⊗上でTᵢ^εと作用し、{|t₀⟩, |t₁⟩}上で恒等写像と作用するユニタリ変換T′ᵢ^εを構築する。これにより、元のQOBDDの構造が保持される。
• 最終状態の振幅|ψₗ(a)⟩ = T′^εₗₗ … T′^ε₁₁ V |1…1⟩を用いて、F′内の受理状態との内積を計算し、受理確率を算出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 QOBDDに繰り返しテストを許可することで、標準QOBDDと比較して計算パワーが顕著に向上するか？
• RQ2 任意の固定されたk ≥ 1に対して、多項式サイズのQOBDDが、無限大誤差を許容するk-QOBDDをシミュレート可能か？
• RQ3 k-QOBDDの受理確率とそのシミュレートされたQOBDDの対応する確率との関係は何か？
• RQ4 ユニタリ変換と重ね合わせをどのように活用して、1つのQOBDDフレームワーク内で複数のQOBDD経路をシミュレートできるか？
• RQ5 複数の独立したQOBDDの動作を保持する形で、テンソル積状態を用いてQOBDDを構成的合成する方法は存在するか？

主な発見

• 無限大誤差を許容する多項式サイズのk-QOBDDで計算可能な任意のブール関数列は、多項式サイズの標準QOBDDでも計算可能である。
• シミュレートされたQOBDD ℬ′の受理確率は、acc_{ℬ′}(a) = (1/(2m)) Σ_{j∈F} |β_j(a)|² + (2m−1)/(4m) で与えられ、ここでm = w^{k−1}である。
• k-QOBDDが入力aを確率1/2以上で受理するならば、シミュレートされたQOBDD ℬ′に対しても同様に確率1/2以上で受理する。
• このシミュレーションは、k個の独立したQOBDDの初期状態のすべての可能な組み合わせの重ね合わせを用いており、1つのQOBDD内での並列計算を可能にしている。
• この構成はユニタリ性を保証し、すべての計算経路において振幅構造を保持しており、測定下でも正しさが保たれる。
• この結果は、繰り返しテストが、既に多項式サイズの標準QOBDDが達成可能な計算能力を超えてQOBDDの計算パワーを拡張しないことを示唆している。