[論文レビュー] Quantum phase transition in the chirality of the (2+1)-dimensional Dirac oscillator

C. J. Quimbay, P. Strange|Kent Academic Repository (University of Kent)|Dec 18, 2013

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、一様な磁場下における(2+1)次元ディラック・オシレーターのヘリシティにおける量子相転移を、左および右ヘリシティ数演算子を用いた正確な解を用いて調査する。ヘリシティが定義されなくなる臨界磁場 $ B_c $ を特定し、エネルギー準位および軌道的角運動量の $ z $-成分が相の間で著しく変化することを示し、後者が相転移を区別する秩序パラメータとして機能することを示す。左ヘリシティ状態（$ B < B_c $）と右ヘリシティ状態（$ B > B_c $）を、相対論的および非相対論的極限において区別する。

ABSTRACT

We study the (2+1)-dimensional Dirac oscillator in the presence of an external uniform magnetic field ($B$). We show how the change of the strength of $B$ leads to the existence of a quantum phase transition in the chirality of the system. A critical value of the strength of the external magnetic field ($B_c$) can be naturally defined in terms of physical parameters of the system. While for $B=B_c$ the fermion can be considered as a free particle without defined chirality, for $BB_c$) the chirality is left (right) and there exist a net potential acting on the fermion. For the three regimes defined in the quantum phase transition of chirality, we observe that the energy spectra for each regime is drastically different. Then, we consider the $z$-component of the orbital angular momentum as an order parameter that characterizes the quantum phase transition.

研究の動機と目的

• 外部の一様な磁場下における(2+1)次元ディラック・オシレーターのヘリシティにおける量子相転移を特徴づけること。
• フェルミオンが明確なヘリシティを持たない自由粒子として振る舞う臨界磁場 $ B_c $ を特定すること。
• エネルギー準位および軌道的角運動量の $ z $-成分が、$ B < B_c $、$ B = B_c $、$ B > B_c $ の三つの領域でどのように変化するかを分析すること。
• 軌道的角運動量の $ z $-成分をヘリシティ相転移の秩序パラメータとして確立すること。
• 非相対論的極限への拡張を行い、相対論的ケースと比較すること。

提案手法

• ベクトルポテンシャル結合を用いて、(2+1)次元における相対論的ディラック・オシレーターのハミルトニアンを導出する。
• 磁場強度に応じたフェルミオンのヘリシティ状態を分類するため、左および右ヘリシティ数演算子を導入する。
• ディラック方程式から導かれる結合されたクライン＝ゴルドン方程式を解き、各ヘリシティ相におけるエネルギー準位を求める。
• 各相における正負のエネルギー状態について、軌道的角運動量の $ z $-成分 $ \langle L_z \rangle $ の期待値を計算する。
• $ c \to \infty $ の極限をとることで非相対論的極限を分析し、式を簡略化し、相対論的結果と比較する。
• 正確な解析的手法を用いて、$ \langle L_z \rangle $ が $ B = B_c $ で未定義であることを示し、臨界点であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外部磁場の強さが、(2+1)次元ディラック・オシレーターのヘリシティにおける量子相転移をどのように誘発するか？
• RQ2 臨界磁場 $ B_c $ の物理的意味は何か？また、系のパラメータの観点からどのように定義されるか？
• RQ3 エネルギー準位は、$ B < B_c $、$ B = B_c $、$ B > B_c $ の三つの領域でどのように異なっているか？これらの差異はどのような意味を持つのか？
• RQ4 軌道的角運動量の $ z $-成分は、ヘリシティ相転移の秩序パラメータとして機能可能か？各相における挙動はいかなるものか？
• RQ5 ヘリシティ相における軌道的角運動量期待値の相対論的および非相対論的極限の比較は、どのように示されるか？

主な発見

• 臨界磁場 $ B_c $ は、系の物理定数によって定義される自然なパラメータであり、フェルミオンがヘリシティを定義できない自由粒子として振る舞う点として特定される。
• $ B < B_c $ の場合、フェルミオンは左ヘリシティを示す。$ B > B_c $ の場合、右ヘリシティを示す。これはヘリシティ数演算子の分析によって確認される。
• 左および右ヘリシティ相におけるエネルギー準位は著しく異なり、クライン＝ゴルドン方程式から導かれた明確な解析的形式をとる。
• 軌道的角運動量の $ z $-成分 $ \langle L_z \rangle $ は秩序パラメータとして機能する：左および右ヘリシティ相で異なる関数的形をとり、$ B = B_c $ で未定義である。
• 非相対論的極限でも、$ \langle L_z \rangle $ は相の間で定量的に異なる上に、$ B = B_c $ で未定義であり、相転移が継続することを確認する。
• ヘリシティ数演算子を用いた正確な解析的手法により、エネルギー準位および $ \langle L_z \rangle $ の両方を正確に計算可能となり、相転移の完全な特徴づけが可能となる。