[論文レビュー] Quantum Spectral Clustering through a Biased Phase Estimation Algorithm

Ammar Daskin|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、振幅増幅を高速化するためにバイアス付き位相推定を用いた量子アルゴリズムを提案している。データ行列をハウスホルダー行列の和として表現し、修正されたユニタリを用いた位相推定を適用することで、量子計算の複雑さを O(2^m L N) に抑える。行列がスパースであるか、単純なユニタリに分解可能な場合、古典的手法のスペクトルクラスタリングに比べて指数的スピードアップが期待できる。

ABSTRACT

In this brief paper, we go through the theoretical steps of the spectral clustering on quantum computers by employing the phase estimation and the amplitude amplification algorithms. We discuss circuit designs for each step and show how to obtain the clustering solution from the output state. In addition, we introduce a biased version of the phase estimation algorithm which significantly speeds up the amplitude amplification process. The complexity of the whole process is analyzed: it is shown that when the circuit representation of a data matrix of order $N$ is produced through an ancilla based circuit in which the matrix is written as a sum of $L$ number of Householder matrices; the computational complexity is bounded by $O(2^mLN)$ number of quantum gates. Here, $m$ represents the number of qubits (e.g., 6) involved in the phase register of the phase estimation algorithm.

研究の動機と目的

• 位相推定と振幅増幅を用いた量子アルゴリズムによるスペクトルクラスタリングの開発。
• バイアス付き位相推定アルゴリズムを用いて、振幅増幅における反復回数の削減。
• スペクトルクラスタリングの量子回路複雑さを分析し、古典的手法と比較。
• データ行列またはラプラシアン行列の固有ベクトルが、量子コンピュータ上で効率的に抽出可能であることを示す。

提案手法

• データベクトルから導かれるハウスホルダー行列を用いて構築されたユニタリ e^H に位相推定を適用。
• 行列 H = XX^T を L 個のハウスホルダー行列の和として表現し、それぞれが O(N) ゲートで実装可能。
• 量子フーリエ変換の代わりに特化した演算子を用いることで、振幅増幅における反復回数を削減するバイアス付き位相推定アルゴリズムを適用。
• 最大固有値に対応する目的の固有状態の振幅を増幅するため、振幅増幅を実行。
• 精度が 2^{-m} に関連する m 量子ビットの制御レジスタを用いて固有値を推定。
• クラスタリングラベルの抽出のために、パウリ型または Y 演算子に基づく初期状態を用いて出力状態を測定。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相推定と振幅増幅を用いた量子コンピュータ上で、スペクトルクラスタリングを効率的に実装できるか？
• RQ2 標準的 QPE と比較して、バイアス付き位相推定演算子は、振幅増幅における反復回数をどの程度削減するか？
• RQ3 データ行列がハウスホルダー行列に分解される場合、スペクトルクラスタリングの量子回路複雑さはどのようになるか？
• RQ4 どのような条件下で、量子アプローチが古典的手法の計算複雑さにおいて優れているか？
• RQ5 位相推定プロセスの出力量子状態から、クラスタリング解をどのように抽出できるか？

主な発見

• 量子アルゴリズムは、位相レジスタの量子ビット数 m とハウスホルダー行列数 L を用いて、スペクトルクラスタリングの計算複雑さを O(2^m L N) に達成。
• バイアス付き位相推定アルゴリズムにより、振幅増幅における反復回数が顕著に削減され、効率性が向上。
• 行列 H が各々 O(log N) ゲートで実装可能な単純なユニタリに分解可能な場合、複雑さは O(2^m L log N) に低減。
• 行列がスパースであるか、単純なユニタリへの低ランク分解を持つ場合、古典的手法のスペクトルクラスタリングに比べて指数的スピードアップを提供。
• クラスタリング解は、初期スーパポジション状態と Y 演算子（X ゲートの和）に基づく測定により、1 回の試行で抽出可能。
• 複数回の試行が必要な場合でも、試行回数 c が古典的手法と共有されるため、複雑さスケーリングが良好に保たれる。