[論文レビュー] Quantum stochastic convolution cocycles III

J. Martin Lindsay, Adam Skalski|arXiv (Cornell University)|May 14, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、乗法的 $C^*$-bialgebra 上のマーカフ正則量子 Lévy 系が、Fock 空間における量子確率的微分方程式に従う量子確率的過程と同値であることを確立している。ノルム連続な畳み込み半群の生成関数型は、表現論的条件を用いて完全に特徴づけられ、厳密位相と作用素空間的手法を用いて、局所コンパクトな量子群への量子 Lévy 系理論の拡張がなされている。

ABSTRACT

Every Markov-regular quantum Levy process on a multiplier C*-bialgebra is shown to be equivalent to one governed by a quantum stochastic differential equation, and the generating functionals of norm-continuous convolution semigroups on a multiplier C*-bialgebra are then completely characterised. These results are achieved by extending the theory of quantum Levy processes on a compact quantum group, and more generally quantum stochastic convolution cocycles on a C*-bialgebra, to locally compact quantum groups and multiplier C*-bialgebras. Strict extension results obtained by Kustermans, together with automatic strictness properties developed here, are exploited to obtain existence and uniqueness for coalgebraic quantum stochastic differential equations in this setting. Then, working in the universal enveloping von Neumann bialgebra, we characterise the stochastic generators of Markov-regular, *-homomorphic (respectively completely positive and contractive), quantum stochastic convolution cocycles.

研究の動機と目的

• コンパクトな量子群から局所コンパクトな量子群および乗法的 $C^*$-bialgebra への量子 Lévy 系理論の拡張。
• 局所コンパクトな設定におけるコ代数的量子確率的微分方程式の解の存在および一意性の確立。
• 乗法的 $C^*$-bialgebra 上の状態のノルム連続な畳み込み半群の生成関数型の特徴づけ。
• すべてのマーカフ正則量子 Lévy 系が Fock 空間における量子確率的過程と同値であることを証明。
• 非単位的かつ局所コンパクトな設定における量子確率的畳み込みコサイクル理論の一般化を、厳密位相およびフォン・ノイマン代数的手法を用いて行う。

提案手法

• 著者らは、厳密位相と完全有界写像の自動的厳密性の性質を用いて、乗法的 $C^*$-bialgebra における量子確率的畳み込みコサイクル理論を拡張した。
• 彼らは、*-ホモモーラルおよび完全正値、ノルム 1 のコサイクルの確率的生成子を分析するために、普遍的包摂フォン・ノイマン bialgebra を用いた。
• 主な道具は、行列空間上のノルム-極弱混合位相と、厳密位相と極弱位相の整合性である。
• セミリニア形式からヒルベルト空間および完全有界導分を構成する手法により、生成関数型の表現による実現が可能になった。
• 理論は、クスティルマンの厳密拡張結果を活用し、完全有界写像に対する新しい自動的厳密性の性質を開発した。
• 非負のセミリニア形式の零空間による商をとる表現論的構成により、必要な $\epsilon$-構造写像が得られた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗法的 $C^*$-bialgebra 上のすべてのマーカフ正則量子 Lévy 系が、Fock 空間における量子確率的微分方程式の解として実現可能か？
• RQ2 乗法的 $C^*$-bialgebra 上のノルム連続な畳み込み半群の生成関数型はどのように特徴づけられるか？
• RQ3 局所コンパクトで非単位的設定における量子確率的畳み込みコサイクルは、どのように一意に特徴づけられるか？
• RQ4 マーカフ正則で *-ホモモーラルな量子確率的コサイクルの確率的生成子とその背後にある表現との関係は何か？
• RQ5 厳密位相と行列空間技法は、非単位的 $C^*$-bialgebra 上の量子確率的過程の文脈でどのように相互作用するか？

主な発見

• 乗法的 $C^*$-bialgebra 上のすべてのマーカフ正則弱量子 Lévy 系は、Fock 空間における量子 Lévy 系と同値である。
• ノルム連続な畳み込み半群の状態の生成関数型は、$\gamma$ が実数的、条件付き正値的であり、$\widetilde{\gamma}(1) = 0$ を満たすという条件によって完全に特徴づけられる。
• 生成関数型 $\gamma$ がヒルベルト空間 $\mathsf{h}$ 上の非退化表現 $\pi$ とベクトル $\eta \in \mathsf{h}$ から生じるための必要十分条件は、$\gamma = \omega_\eta \circ (\pi - \iota_\mathsf{h} \circ \epsilon)$ が成り立つことである。
• マーカフ正則で *-ホモモーラルな量子確率的畳み込みコサイクルの確率的生成子は、$\widetilde{\varphi}(1) = 0$ を満たす $B(\widehat{\mathsf{k}})$ への $\epsilon$-構造写像によって完全に決定される。
• 理論は非単位的状況に自然に拡張され、単位的性質は非退化性に置き換えられ、積系と弱量子 Lévy 系の双対性が保たれる。
• セミリニア形式 $q(a,b) = \widetilde{\gamma}_0(\psi(a)^*\psi(b))$ からヒルベルト空間 $\mathsf{k}$ および完全有界導分 $\delta$ を構成する手法により、生成関数型の表現による実現が可能になった。