[論文レビュー] Quantum theory as inductive inference

Ryszard Paweł Kostecki|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2010

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 77被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、代数的積分、情報幾何学、相対エントロピーの最大化を用いて、量子理論と確率論の基礎的再構築を提案する。ヒルバート空間と測度空間の代わりに、抽象的 $W^*$-代数と正線形汎関数を導入する。量子力学の運動論的・運動的性質は、制約付きエントロピー最大化から導出され、標準量子力学は特別な場合として回復されるが、実在的コミットメントを伴わない関係的・相互主観的解釈が可能になる。

ABSTRACT

We present the elements of a new approach to the foundations of quantum theory and probability theory which is based on the algebraic approach to integration, information geometry, and maximum relative entropy methods. It enables us to deal with conceptual and mathematical problems of quantum theory without any appeal to frameworks of Hilbert spaces and measure spaces.

研究の動機と目的

• ヒルバート空間や測度空間に依存しない量子理論の基礎を構築すること。
• ダニエル＝ストーンの積分フレームワークを用いて、ベイズ＝ラプラスとボレル＝コルモゴロフの確率論的基礎的矛盾を解消すること。
• $W^*$-代数上での量子相対エントロピーの制約付き最大化を通じて、量子力学の運動論的・運動的性質を確立すること。
• 操作主義的・実在的コミットメントを回避する関係的・相互主観的量子理論の解釈を提供すること。
• $L_2(\mathcal{N})$ 空間への同型写像により、提案された枠組みから標準量子力学を特別な場合として回復すること。

提案手法

• ボレル＝コルモゴロフの確率論的基礎を、抽象的可換および非可換 $C^*$-代数上の積分に置き換える。
• ベクトルラティス上のダニエル＝ストーン理論の積分を用いて、古典的確率論の基礎における不整合を解消する。
• 有限正の積分の空間に非対称な情報偏差（負の相対エントロピー）を導入し、情報幾何学を定義する。
• 量子ブラグマンエントロピーとしての相対エントロピー汎関数 $D_p$ の族を導入し、$\mathcal{M}(\mathcal{N})$ 上に優先的な情報幾何学を誘導する。
• 制約付き $D_p$ のエントロピー最大化により量子力学的ダイナミクスを定義し、情報幾何学における非線形射影として解釈する。
• $L_2(\mathcal{N})$ とハーガップの標準表現およびGNS構成との同型写像を用いて、標準ヒルバート空間量子力学を再構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子理論は、ヒルバート空間や測度論的確率論に依存せずに再構築可能か？
• RQ2 情報幾何学と相対エントロピーは、古典的および量子理論の両方の基礎を統合的に提供可能か？
• RQ3 $D_p$ の相対エントロピー族が、優先的な量子情報幾何学を定義する役割を果たすか？
• RQ4 ユニタリ時間発展が存在しない状況で、制約付きエントロピー最大化がどのようにダイナミクスを生成するか？
• RQ5 実在的または操作主義的コミットメントを伴わず、関係的・相互主観的量子理論の解釈を構築可能か？

主な発見

• 量子情報モデル $\mathcal{M}(\mathcal{N})$ は、$W^*$-代数 $\mathcal{N}$ 上の正規正の有限線形汎関数の部分集合として定義され、運動論的性質においてヒルバート空間の役割を置き換える。
• $L_2(\mathcal{N})$ 空間は、任意の忠実な状態について、ハーガップの標準表現およびGNS構成とユニタリ同型であるため、標準量子力学の再構成が可能になる。
• 制約付きエントロピー最大化から導かれる写像 $\mathfrak{P}^{D_{\gamma}}_{F(t)}(\omega_0)$ は、非線形射影として時間的情報ダイナミクスをモデル化する。
• $D_p$ の量子相対エントロピー族は、非可換 $L_p(\mathcal{N})$ 空間に対応し、$\mathcal{M}(\mathcal{N})$ 上に優先的な情報幾何学を誘導する。
• '測定対象'という概念は、純粋に知識的意味を持つテンソル積分解としてのみ再導入され、基礎的役割を果たさない。
• このアプローチにより、'粒子'、'場'、'宇宙'といった用語に対する実在的コミットメントが排除され、相互に検証可能な実験設計に置き換えられる。