[論文レビュー] Quantum theory without Hilbert spaces

Charis Anastopoulos|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2000

Quantum Mechanics and Applications参考文献 42被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ヒルベルト空間形式主義を、古典的位相空間上の操作的枠組みに置き換える量子理論の再定式化を提案する。観測可能量はその空間上の関数として扱われ、確率と相対位相を符号化する「整合性関数」が導入される。主な結果は、非可換な観測可能量やヒルベルト空間を一切用いずに、標準的な量子予測を再現できることであり、ベルの定理やコーゲン＝スプライッターの定理を回避する実在的で幾何学的な代替理論を提供する。その根拠は位相を原始的とみなすことであり、非加法的確率を用いる。

ABSTRACT

Quantum theory does not only predict probabilities, but also relative phases for any experiment, that involves measurements of an ensemble of systems at different moments of time. We argue, that any operational formulation of quantum theory needs an algebra of observables and an object that incorporates the information about relative phases and probabilities. The latter is the (de)coherence functional, introduced by the consistent histories approach to quantum theory. The acceptance of relative phases as a primitive ingredient of any quantum theory, liberates us from the need to use a Hilbert space and non-commutative observables. It is shown, that quantum phenomena are adequately described by a theory of relative phases and non-additive probabilities on the classical phase space. The only difference lies on the type of observables that correspond to sharp measurements. This class of theories does not suffer from the consequences of Bell's theorem (it is not a theory of Kolmogorov probabilities) and Kochen- Specker's theorem (it has distributive "logic"). We discuss its predictability properties, the meaning of the classical limit and attempt to see if it can be experimentally distinguished from standard quantum theory. Our construction is operational and statistical, in the spirit of Kopenhagen, but makes plausible the existence of a realist, geometric theory for individual quantum systems.

研究の動機と目的

• ヒルベルト空間や非可換な観測可能量に依存しない、操作的で統計的な量子理論の形式化を実現すること。
• アインシュタインやボームが求めるように、個々の系を記述する実在的量子理論を構築する長年の課題に応えること。
• 干渉によって測定可能な相対位相が、確率と同様に量子理論において根本的であることを示すこと。
• 標準的な量子力学の予測が、古典的位相空間と整合性関数を用いて再現可能であることを示すこと。ヒルベルト空間構造を必要としない。
• このような理論が標準量子力学と実験的に区別可能かどうかを検討し、その予測可能性と古典的極限を評価すること。

提案手法

• 一貫した歴史のアプローチにおけるデコherence（または整合性）関数を中心的対象として用い、確率と相対位相を符号化する。
• 非可換代数を避けるために、観測可能量を古典的位相空間上の関数として表現する。
• 量子状態を位相空間分布に写像するためのウィグナー変換を適用し、量子予測を再現する整合性関数を構築する。
• 相対位相をヒルベルト空間から導出されるものではなく、ベリー接続によって生成される原始的物理的実体とみなす。
• 明確な測定は射影演算子ではなく、位相空間の部分集合に対応する。
• 干渉を説明するため、非加法的確率測度を用いることで、コルモゴロフ確率論とは異なる枠組みを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子理論は、ヒルベルト空間を用いずに、古典的位相空間と整合性関数に基づいて記述可能か？
• RQ2 量子力学における相対位相は物理的に原始的で、確率と同様に操作的に測定可能か？
• RQ3 古典的観測可能量と非加法的整合性関数に基づく理論が、標準量子力学のすべての予測を再現可能か？
• RQ4 この理論が、コルモゴロフ確率論でなく、分配的論理を持つことによって、ベルの定理およびコーゲン＝スプライッターの定理を回避できるか？
• RQ5 位相空間に基づく、実在的で幾何学的な個々の量子系の理論が、現実的に構築可能か？

主な発見

• ウィグナー変換を用いて古典的位相空間上に構築された整合性関数は、標準量子理論の統計的予測を完全に再現する。
• この理論は、干渉位相による非加法的測度を用いるため、コルモゴロフ確率論ではない。したがってベルの定理を回避する。
• 論理が分配的であるため、標準量子理論とは異なり非分配的論理を用いない。よってコーゲン＝スプライッターの定理を回避する。
• 相対位相が測定可能で、確率のみから導出可能なものではない、物理的に根本的であることが示された。
• この枠組みは、実在的で幾何学的な個々の量子系の理論が古典的位相空間上に構築可能である可能性を示唆するが、まだ完全な理論は得られていない。
• 統計的予測が標準量子力学と同一であるため、実験的にこの理論と区別するのは困難である。