[論文レビュー] Quantum Tomography From Few Full-Rank Observables

Vladislav Voroninski|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2013

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 5被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、ユニタリまたは直交群上のハール分布から抽出された観測量を用いる場合、量子状態トモグラフィーをPhaseLiftを用いてO(n)測定値で正確に実行できることを確立している。観測量がハール分布に従う場合、純粋状態は高確率で位相の不定性を除き正確に回復可能であり、ガウス測定から物理的に実現可能な構造的ランダム観測量へとPhaseLiftの保証を拡張している。

ABSTRACT

We establish that the PhaseLift algorithm recovers pure states from a constant number of full-rank observables with high probability.

研究の動機と目的

• 量子トモグラフィーにおけるガウス測定から構造的で物理的に実現可能な測定モデルへと、PhaseLiftの正確回復保証を拡張すること。
• ハール分布に従うユニタリまたは直交行列からのO(n)測定値が、純粋量子状態の正確回復に十分であることを確立すること。
• 理想化されたガウスモデルと現実世界の実装との間のギャップを埋めるために、フルランク観測量を用いた量子トモグラフィーの理論的基盤を構築すること。
• 被覆論法とリプシッツ解析を用いて、ガウス設定からの双対証明技術を構造的ランダム集合へと適応し、測定複雑度をO(n log n)からO(n)に低減すること。
• Wrightの予想（純粋状態を決定するのに必要な最小観測量数）に接続し、関連する変種を解消すること。

提案手法

• 測定値の大きさのみから密度行列を回復するため、PhaseLiftの凸緩和フレームワークを用いる。
• 測定演算子Aに基づく双対証明の構築において、ハール測度のユニタリ／直交不変性を活用する。
• タラグランドの集中不等式を用いて、ランク2のエルミート行列上での測定演算子の逸脱を制御する。
• ハール分布に従う観測量において、ランク2行列に対するタイプ1の制限等長性性質（RIP-1）を確立する。
• 被覆論法とリプシッツ解析を用いて、ガウス設定からの双対証明技術を構造的ランダム行列へと適応する。
• ノイズあり設定およびすべての信号に対する一様回復を拡張するために、修正された凸計画問題を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハール分布に従う構造的ランダム集合からのフルランク観測量を用いて、PhaseLiftはサブガウス的数の測定値で純粋量子状態を正確に回復できるか？
• RQ2 量子トモグラフィーで物理的に実現可能なハール分布に従う測定モデルは、O(n)の測定値で正確回復を可能にするか？
• RQ3 ガウス設定で用いられる双対証明アプローチを、ユニタリ／直交ランダム集合へと適応可能か？ これによりO(n)の測定複雑度が達成可能か？
• RQ4 任意の純粋量子状態を一意に決定するために必要なフルランク観測量の最小数は何か？ これとWrightの予想とはどのように関係するか？
• RQ5 ノイズ下でのPhaseLiftの安定性は、構造的ランダム測定モデルへとどのように拡張できるか？

主な発見

• ハール分布に従うユニタリまたは直交行列からのm = O(n)測定値を用いて、任意の純粋状態x ∈ ℂⁿが高確率で位相の不定性を除き正確に回復可能である。
• r = O(1)の観測量を用いる場合、測定演算子Aはランク2行列に対して高確率でRIP-1を満たし、双対証明法により正確回復が保証される。
• 双対証明の構築を適応することで、測定数をO(n log n)からO(n)に低減し、ガウス測定における最良の既知の境界と一致する。
• 双対証明YがA*の像内に存在し、Y_T^⊥ ≺ 0および‖Y_T − e₁e₁*‖₂ ≤ 1/5を満たすことで、解の一意性が保証される。
• タラグランドの不等式による測定集中の証明により、演算子ノルムの逸脱に対する指数的尾部バウンドが示された。
• ランク2k行列へのRIP-1性質の一般化と修正された双対証明の使用により、ランクk状態に対してもO(kn)の測定値で結果を拡張可能である。