[論文レビュー] Quantum vertex $F((t))$-algebras and their modules

Haisheng Li|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 26被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、標準的な可換性の代わりにバーテックス局所性を用いる、弱い量子頂点 $F((t))$-代数という、頂点代数を一般化する新しい代数的枠組みを導入する。この代数およびその加群の概念的構成がなされ、FrenkelとJingが提起した長年の問題を解決するため、量子アフィン代数に弱い量子頂点 $F((t))$-代数を自然に関連付ける理論が適用される。また、量子 $\beta\gamma$-系から明示的な例が構成される。

ABSTRACT

This is a paper in a series to study vertex algebra-like structures arising from various algebras including quantum affine algebras and Yangians. In this paper, we develop a theory of what we call (weak) quantum vertex $\F((t))$-algebras with $\F$ a field of characteristic zero and $t$ a formal variable, and we give a conceptual construction of (weak) quantum vertex $\F((t))$-algebras and their modules. As an application, we associate weak quantum vertex $\F((t))$-algebras to quantum affine algebras, providing a solution to a problem posed by Frenkel and Jing. We also explicitly construct an example of quantum vertex $\F((t))$-algebras from a certain quantum $βγ$-system.

研究の動機と目的

• 特徴がゼロの体 $F$ に対して、弱い量子頂点 $F((t))$-代数およびその加群の理論を構築すること。
• 自己準同型の準同型集合を用いて、弱い量子頂点 $F((t))$-代数およびその加群の概念的構成を提供すること。
• FrenkelとJingが提起した、量子頂点代数を量子アフィン代数に自然に関連付けるという未解決問題を解決すること。
• 量子 $\beta\gamma$-系から量子頂点 $F((t))$-代数の明示的例を構成すること。

提案手法

• 弱い量子頂点 $F((t))$-代数を、$F((t))$-加群 $V$ と線形写像 $Y(\cdot,x): V \to \text{Hom}_{F((t))}(V, V((x)))$、および真空ベクトル $\mathbf{1}$ を備えたものとして定義し、特定の公理を満たすものとする。
• 非局所頂点代数を自然に生成するため、$\mathcal{E}(W) = \text{Hom}(W, W((x)))$ 内の準同型集合の概念を用いる。
• 形式的べき級数 $f_i(x_1,x_2) \in F_*(x_1,x_2)$ を含むバーテックス局所性条件を導入し、標準的な可換性の代わりにバーテックス版の可換性を置き換える。
• 演算子積展開を扱うために、$\iota_{t,x_2,x_1}$-写像と $\delta$-関数の恒等式を用いて普遍的構成を確立する。
• 二つのスペクトルパラメータを持つユニタリ量子ヤン・バクスター作用素を追加することで、量子頂点 $F((t))$-代数を定義する。
• ドリンフェルトの実現を用いて、弱い量子頂点 $F((t))$-代数を量子アフィン代数から構成し、必要な関係を満たすようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 頂点作用素代数を一般化し、量子アフィン代数に適用可能な一貫性のある量子頂点代数の理論を構築できるか？
• RQ2 標準的な可換性を置き換えるにあたり、結合性を保ちつつバーテックス局所性をどのように形式化できるか？
• RQ3 準同型自己準同型系から、弱い量子頂点 $F((t))$-代数およびその加群の自然な構成を達成できるか？
• RQ4 アフィンリー代数に対する頂点作用素代数の構成に類似する形で、弱い量子頂点 $F((t))$-代数を量子アフィン代数に自然に関連付けることは可能か？
• RQ5 量子 $\beta\gamma$-系から生じる量子頂点 $F((t))$-代数の構造はどのようなものか？

主な発見

• 非局所頂点代数の先行研究を一般化する形で、$\mathcal{E}(W)$ の準同型集合を用いた、弱い量子頂点 $F((t))$-代数およびその加群の概念的構成が達成された。
• 理論により、FrenkelとJingの問題が弱い量子頂点 $F((t))$-代数を量子アフィン代数に自然に関連付けることで解決された。
• 量子 $\beta\gamma$-系から量子頂点 $F((t))$-代数の明示的例が構成され、生成子 $\beta_t(n), \gamma_t(n)$ が $q$ と $t$ を含むバーテックス交換関係を満たす。
• $\beta\gamma$-系の例は、構成された代数のタイプゼロの加群を実現し、$\pi: V_{t,q}(\beta\gamma) \to \mathbb{C}((x))K$ は非局所頂点 $\mathbb{C}((t))$-代数の準同型である。
• $\iota$-写像に関する技術的結果が確立され、$\iota_{t,x_1,x_2}$ と $\iota_{t,x_2,x_1}$ の恒等式が得られ、演算子積展開の整合性が保証された。
• 理論はEtingof-Kazhdanおよび $H_D$-量子頂点代数理論とは異なり、$t$ を変形パrameterではなく形式的変数として用いること、および標準的な結合性を保つことによって、独自の特徴を持つ。