[論文レビュー] Quantum Walks On Graphs

Dorit Aharonov, Andris Ambainis+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、グラフ上の量子ウォークの基礎理論を確立し、古典的混合時間および分散測度の量子版を導入する。サイクルグラフにおける量子ウォークは、古典的ランダムウォークと比較してほぼ2乗の高速化を達成するが、量子ウォークが古典的ウォークよりも最大で多項式的高速化しかできないことを証明しており、有界次数のグラフでは2乗の上限がタイトであることを示している。

ABSTRACT

We set the ground for a theory of quantum walks on graphs- the generalization of random walks on finite graphs to the quantum world. Such quantum walks do not converge to any stationary distribution, as they are unitary and reversible. However, by suitably relaxing the definition, we can obtain a measure of how fast the quantum walk spreads or how confined the quantum walk stays in a small neighborhood. We give definitions of mixing time, filling time, dispersion time. We show that in all these measures, the quantum walk on the cycle is almost quadratically faster then its classical correspondent. On the other hand, we give a lower bound on the possible speed up by quantum walks for general graphs, showing that quantum walks can be at most polynomially faster than their classical counterparts.

研究の動機と目的

• ハイルベルト空間上のユニタリな時間発展を用いて、グラフとコイン状態を含む一般化された古典的ランダムウォークの量子版として、グラフ上の量子ウォークを形式化すること。
• ユニタリティのため定常分布に収束しないことから、量子ウォークに対して意味のある収束測度を定義すること。
• 混合時間、サンプリング時間、分散時間の観点から、量子ウォークと古典的ランダムウォークとの間の高速化を分析すること。
• 量子ウォークの高速化の一般下限を確立し、それが最大で多項式的であり、特に有界次数のグラフでは2乗の上限が成り立つことを示すこと。
• 特にサンプリングおよび状態準備の高速化の観点から、量子ウォークのアルゴリズム的ポテンシャルを探ること。

提案手法

• グラフのハイルベルト空間と補助コイン空間のテンソル積上のユニタリ作用素として量子ウォークを定義し、振幅がグラフの辺に沿ってのみ非ゼロとなるようにする。
• 時間平均による確率分布の極限分布を導入することで、ユニタリ時間発展にもかかわらず収束解析が可能になるようにする。
• 主な測度を定義する：混合時間（極限分布に近づくまでの時間）、サンプリング時間、充填時間、分散時間。
• コイン付き量子ウォークモデルを用いてサイクルグラフを分析し、$O(n\log n)$の混合時間であることを示し、古典的$O(n^2)$と比較してほぼ2乗の高速化を達成することを示す。
• グラフの混合性$\Phi$を用いて、量子ウォークの高速化の一般下限を確立し、量子ウォークは最大で$O(1/\Phi)$の高速化しかできないことを証明する。コイン付きウォークでは$O(1/d)$の改善要因があることを示す。
• スペクトル的および確率的議論を用いて、小さな近傍からの脱出確率を抑え、境界サイズと混合性に依存するサンプリング時間の下限を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフ上の量子ウォークは、古典的ランダムウォークよりも高速化を達成できるか？ もしそうなら、その高速化はどの程度まで可能か？
• RQ2 ユニタリティのため定常分布が存在しないことから、量子設定における古典的混合時間および収束測度の適切な類似物は何か？
• RQ3 サイクルグラフで観察された2乗の高速化は最良のものであり、他のグラフではより大きな高速化が可能か？
• RQ4 量子ウォークが混合時間において$1/\Phi$の下限を達成できるか？ ここで$\Phi$はグラフの混合性である。 また、これは効率的に構築可能か？
• RQ5 非アーベルケイリー群上の量子ウォークの極限分布の構造は何か？ また、古典的ウォークとはどのように異なるか？

主な発見

• サイクルグラフにおける量子ウォークの混合時間は$O(n\log n)$であり、古典的ランダムウォークの$O(n^2)$混合時間と比較してほぼ2乗の高速化を示している。
• 有界次数のグラフにおいて、量子ウォークの古典的ランダムウォークに対する最大高速化は2乗までに制限され、混合時間の$O(1/\Phi)$下限によって示されている。
• アーベル群のケイリー群上の量子ウォークの極限分布は、初期状態に依存せず一様である。これは古典的定常性の一般化である。
• 非ユニタリ量子ウォークのサンプリング時間に対して、一般下限$\Omega(1/\Phi')$が確立され、ここで$\Phi'$は修正された混合性パラメータである。
• この論文は、量子ウォークが古典的ウォークよりも最大で多項式的高速化しかできないことを示しており、正則グラフでは2乗の上限がタイトであることを示している。
• 対称群$S_3$上の量子ウォークの極限分布は、その古典的対応と異なり、非アーベル群では非自明な振る舞いを示している。