[論文レビュー] Quantum Yang-Mills Theory in Two Dimensions: Exact versus Perturbative

Timothy Nguyen|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 32被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、クーロン、ホロモーフィック、軸対称ゲージにおける摂動的2次元ヤン・ミルズ理論の厳密な数学的定式化を提供し、格子連続極限から得られる正確な非摂動的結果とそのウィルソン環期待値を比較する。Coulombゲージとホロモーフィックゲージが等価であり、$S^2$上で正確な理論と漸近的に一致することを証明するが、$ackslash$mathrm{R}^2$上では軸対称ゲージがそのようにはならない。これは、曲がったコンパクトな幾何における成功にもかかわらず、平坦空間では摂動論の根本的な崩壊を露呈する。

ABSTRACT

The standard Feynman diagrammatic approach to quantum field theories assumes that perturbation theory approximates the full quantum theory at small coupling even when a mathematically rigorous construction of the latter is absent. On the other hand, two-dimensional Yang-Mills theory is a rare (if not the only) example of a nonabelian (pure) gauge theory whose full quantum theory has a rigorous construction. Indeed, the theory can be formulated via a lattice approximation, from which Wilson loop expecation values in the continuum limit can be described in terms of heat kernels on the gauge group. It is therefore fundamental to investigate how the exact answer for 2D Yang-Mills compares with that of the continuum perturbative approach, which a priori are unrelated. In this paper, we provide a mathematically rigorous formulation of the perturbative quantization of 2D Yang-Mills, and we consider perturbative Wilson loop expectation values on $\mathbb{R}^2$ and $S^2$ in Coulomb gauge, holomorphic gauge, and axial gauge (on $\mathbb{R}^2$). We show the following equivalences and nonequivalences between these gauges: (i) Coulomb and holomorphic gauge are equivalent and are independent of the choice of gauge-fixing metric; (ii) both are inequivalent with axial-gauge. Additionally, we show that the asymptotics of exact lattice Wilson loop expectations on $S^2$ agree with perturbatively computed expectations in holomorphic gauge for simple closed curves to all orders. However, as a consequence of (ii), this result is necessarily false on $\mathbb{R}^2$. Our work therefore presents fundamental progress in the analysis of how continuum perturbation theory succeeds or fails in capturing the asymptotics of the continuum limit of the lattice theory.

研究の動機と目的

• Faddeev-PopovおよびBV量子化を用いて、Coulomb、ホロモーフィック、軸対称ゲージにおける摂動的2次元ヤン・ミルズ理論を厳密に定式化すること。
• 摂動的ウィルソン環期待値を、格子連続極限から導かれた正確な非摂動的結果と比較すること。
• 摂動論が2次元ヤン・ミルズ理論において正確な理論を漸近的に再現する条件を特定すること。
• ゲージ選択および幾何（$\mathbb{R}^2$ 対 $S^2$）が摂動的および非摂動的結果の収束に与える役割を明確にすること。

提案手法

• $\mathbb{R}^2$ および $S^2$ 上で、Coulomb、ホロモーフィック、軸対称ゲージにおけるFaddeev-Popov量子化を用いた形式的摂動論を展開する。
• 熱核正則化された伝播関数 $G_{\epsilon}^{\mathbb{R}^2}$ を用いて理論を正則化し、$G^{\mathbb{R}^2}(\mathbf{w}) = -\frac{1}{2\pi}\log|\mathbf{w}|$ のグリーン関数を近似する。
• 点分割正則化を用いて特異積分の推定を行う。特異性 $\mathbf{w}=0$ は $\epsilon^{1/2}$-近傍で除外される。
• ウィードの定理および関数的微分を用いてフェルミオン図を解析し、特異部を漸近展開を用いて明示的に計算する。
• $S^2$ 上の正確なウィルソン環期待値は、ゲージ群上の熱核トレースを用いて格子形式から導出される。
• 摂動的および正確な結果の漸近的挙動を、結合定数 $e \to 0$ における各次数で比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元ヤン・ミルズ理論における摂動的ウィルソン環期待値は、格子連続極限から得られる正確な非摂動的結果と、$e \to 0$ において漸近的に一致するか？
• RQ2 Coulombゲージとホロモーフィックゲージは摂動的2次元ヤン・ミルズ理論において等価であり、同じ漸近的結果をもたらすか？
• RQ3 $\mathbb{R}^2$ 上では摂動論が正確な結果を再現できないのはなぜか？ 一方で $S^2$ 上では一致する。
• RQ4 ゲージ固定計量の選択がCoulombゲージにおける摂動的結果に与える影響は何か？
• RQ5 曲率およびトポロジー（コンパクト対非コンパクト）が、摂動的および非摂動的手法の収束に果たす役割は何か？

主な発見

• Coulombゲージとホロモーフィックゲージは数学的に等価であり、ゲージ固定計量に依存せず、同一の摂動的ウィルソン環期待値をもたらす。
• 軸対称ゲージは別の結果をもたらし、Coulombおよびホロモーフィックゲージとは不等価である。これは、摂動的量子化におけるゲージ不変性の根本的崩壊を示唆する。
• $S^2$ 上では、正確なウィルソン環期待値の漸近展開が、ホロモーフィックゲージにおける摂動的結果と、結合定数のすべての次数で一致する。
• $\mathbb{R}^2$ 上では、軸対称ゲージの不等価性および有限体積効果の不在により、漸近的一致が失敗する。$S^2$ で観察された一致はこの点で破れる。
• 格子理論で用いられる熱核正則化が、摂動的解析における点分割正則化と等価であることが示され、特異積分推定の妥当性が裏付けられる。
• フェルミオン図の特異的挙動は、$\partial_\mu G_\epsilon^{\mathbb{R}^2}$ を含む積分の明示的漸近解析により捉えられ、$\log \epsilon^{-1/2}$ に比例する対数的発散が生じる。