[論文レビュー] What is QFT? Resurgent trans-series, Lefschetz thimbles, and new exact saddles

Gerald V. Dunne, Mithat Ünsal|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2015

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 49被引用数 20

ひとこと要約

この論文は、リーマン・シュトゥルムの理論とレフシェッツのテーブルを用いて、摂動的および非摂動的物理学を統一する量子場理論（QFT）における再生プログラムを導入する。R³×S¹のようなコンパクト化された空間における経路積分を分析することで、中性ビオンと分数的キックインスタントンが、長年未解決であった赤外線の発散源である赤外線の再正規化子の半古典的実現を提供し、ボレル再帰和の曖昧性を解消し、強いスケール Λ に比例する正しい質量ギャップを導出する。

ABSTRACT

This is an introductory level review of recent applications of resurgent trans-series and Picard-Lefschetz theory to quantum mechanics and quantum field theory. Resurgence connects local perturbative data with global topological structure. In quantum mechanical systems, this program provides a constructive relation between different saddles. For example, in certain cases it has been shown that all information around the instanton saddle is encoded in perturbation theory around the perturbative saddle. In quantum field theory, such as sigma models compactified on a circle, neutral bions provide a semi-classical interpretation of the elusive IR-renormalon, and fractional kink instantons lead to the non-perturbatively induced gap, of order of the strong scale. In the path integral formulation of quantum mechanics, saddles must be found by solving the holomorphic Newton's equation in the inverted (holomorphized) potential. Some saddles are complex, multi-valued, and even singular, but of finite action, and their inclusion is strictly necessary to prevent inconsistencies. The multi-valued saddles enter either via resurgent cancellations, or their phase is tied with a hidden topological angle. We emphasize the importance of the destructive/constructive interference effects between equally dominant saddles in the Lefschetz thimble decomposition. This is especially important in the context of the sign problem.

研究の動機と目的

• リーマン・シュトゥルムの理論とレフシェッツのテーブルを用いて、QFTの非摂動的定義を確立すること。
• 複素的極小点の干渉を用いて、経路積分における符号問題を解消すること。
• 中性ビオンや charged ビオンのような新しい非摂動的極小点を同定し、強い結合理論の力学を説明すること。
• リーマン・シュトゥルムのキャンセルを介して、ボレル再帰和における摂動的曖昧性と非摂動的極小点寄与を結びつけること。
• S¹へのコンパクト化が、隠れた位相的構造を明らかにし、強いスケール Λ の記憶を回復することを示すこと。

提案手法

• 摂動的極小点周りの摂動的データとインスタントン・ビオン極小点周りの非摂動的データを結びつけるために、リーマン・シュトゥルムのトランスシリーズを用いる。
• ピカール・レフシェッツ理論を適用して、経路積分をレフシェッツのテーブルに分解し、有限作用を持つ複素的・多価的・特異的極小点を同定する。
• 逆ポテンシャルにおけるホロモーフィック・ニュートン方程式を解き、複素化されたスカラー場空間におけるすべての関連極小点を特定する。
• 摂動的級数のボレル平面構造を分析して、再正規化子に関連する特異点を同定し、それらを非摂動的曖昧性と一致させる。
• S¹におけるねじれ境界条件を用いて、インスタントンを分数的キックインスタントンに分離し、su(N)代数のデータに関連する新しい極小点構造を明らかにする。
• 中性ビオンが、±ie⁻²Sᴵ/β₀ のオーダーの虚数的曖昧性を担っており、それらがボレル再帰和可能な摂動理論における虚数的曖昧性を正確にキャンセルすることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン・シュトゥルムの理論とレフシェッツのテーブルは、QFTの経路積分における符号問題をどのように解消するか？
• RQ2 複素的・多価的・特異的極小点は、半古典的展開の一貫性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ3 中性ビオンは、QFTにおける赤外線再正規化子の半古典的解釈をどのように提供するか？
• RQ4 なぜS¹へのコンパクト化は、周期的境界条件とは異なり、強いスケール Λ の記憶を回復するのか？
• RQ5 ボレル平面における摂動的および非摂動的曖昧性のキャンセルの幾何学的・代数的起源は何か？

主な発見

• R¹×S¹ 上の CPN−1 モデルにおける中性ビオンは、±ie⁻²Sᴵ/β₀ のオーダーの虚数的曖昧性を担っており、それらはボレル再帰和可能な摂動理論における虚数的曖昧性を正確にキャンセルする。
• 中性ビオンの曖昧性がボレル平面に位置する点は、長年未解決であった't Hooftの赤外線再正規化子特異点 tIR = 2Sᴵ/β₀ と一致する。
• R¹×S¹ 上の還元された量子力学における質量ギャップはキックインスタントン効果によって生成され、mg ∼ (LN)⁻¹e⁻Sᴵ/β₀ = Λ で与えられ、理論の強いスケールである。
• インスタントンのないσ模型（例えばO(N)模型や主チャンネル模型）では、有限作用を持つ非BPS極小点がインスタントンと類似の役割を果たし、ねじれ境界条件の下で分離化する。
• 2次までの半古典的極小点構造は、su(N)の拡張カルタン行列によって普遍的に決定され、非ゼロ成分から生じる中性ビオン [Bii]± および電荷を持つビオン [Bij] = [KiK̄j] が現れる。
• リーマン・シュトゥルムのキャンセル機構により、コンパクト化されたQFTの非摂動的力学が、R⁴ や R² 上の元の理論の完全な非摂動的構造を符号化していることが確認される。