[論文レビュー] Quark and lepton flavors with common modulus $τ$ in $A_4$ modular symmetry

Hiroshi Okada, Morimitsu Tanimoto|arXiv (Cornell University)|May 2, 2020

Neutrino Physics Research参考文献 57被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、同一のモジュラス $\tau$ を用いた $A_4$ モジュラーシンメトリーに基づくクォークとレプトンの統一フレームワークを提案する。クォークおよびレプトンの質量行列は、重み 2, 4, 6 のモジュラー形式から構成される。$\tau \approx i$ であると、CKM混合角およびレプトン系におけるCP違反をうまく再現でき、共通の $\tau$ においてニュートリノ質量の和が最小140 meVに制約され、正のニュートリノ質量順序が支持される。

ABSTRACT

We study quark and lepton mass matrices with the common modulus $τ$ in the $A_4$ modular symmetry. The viable quark mass matrices are composed of modular forms of weights $2$, $4$ and $6$. It is remarked that the modulus $τ$ is close to $i$, which is a fixed point in the fundamental region of SL$(2,Z)$, and the CP symmetry is not violated. Indeed, the observed CP violation is reproduced at $τ$ which is deviated a little bit from $τ=i$. The charged lepton mass matrix is also given by using modular forms of weights $2$, $4$ and $6$, where five cases have been examined. The neutrino mass matrix is generated in terms of the modular forms of weight $4$ through the Weinberg operator. Lepton mass matrices are also consistent with the observed mixing angles at $τ$ close to $i$ for NH of neutrino masses. Allowed regions of $τ$ of quarks and leptons overlap each other for all cases of the charged lepton mass matrix. However, the sum of neutrino masses is crucial to test the common $τ$ for quarks and leptons. The minimal sum of neutrino masses $\sum m_i$ is $140$meV at the common $τ$. The inverted hierarchy of neutrino masses is unfavorable in our framework. It is emphasized that our result suggests the residual symmetry $\mathbb{Z}_2^{S}=\{ I, S \}$ in the quark and lepton mass matrices.

研究の動機と目的

• クォークとレプトンのフレーバー構造を、単一のモジュラス $\tau$ を持つ共通の $A_4$ モジュラーシンメトリーで統一すること。
• 重み 2, 4, 6 のモジュラー形式を用いて、実現可能なクォークおよびレプトンの質量行列を構築すること。
• 同じ $\tau$ が、観測されたクォーク混合角（CKM）およびレプトン混合角（PMNS）に加え、CP違反を同時に再現できるかどうかを検証すること。
• 特に正のニュートリノ質量順序と逆順序との違いに注目し、ニュートリノ質量の和の制約とモデルの整合性を検討すること。
• 質量行列に残り対称性 $\mathbb{Z}_2^S = \{I, S\}$ が現れることを、フレームワークの重要な特徴として特定すること。

提案手法

• クォークおよび電荷レプトンの質量行列を、$A_4$ モジュラーシンメトリー下での重み 2, 4, 6 のモジュラー形式から構築する。
• 重み 4 のモジュラー形式を用いて、ウィーンバーグ作用素によりニュートリノ質量行列を生成する。
• クォークおよびレプトン間で共通のモジュラス $\tau$ を固定し、$SL(2,\mathbb{Z})$ の基本領域内での固定点である $\tau \approx i$ を採用する。
• 理論的予測を実験的データ（混合角およびCP違反）と比較するため、PMNS混合行列のパrametrizationを用いる。
• モデルの妥当性を検証するため、有効なメジャノナ質量 $\langle m_{ee} \rangle$ およびニュートリノ質量の和 $\Sigma m_\nu$ を計算する。
• クォークおよびレプトンの理論的側面と整合する領域を特定するため、$\tau$ の包括的スキャンを実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $A_4$ モジュラーシンメトリーにおける単一のモジュラス $\tau$ が、クォーク系における観測されたCKM混合角およびCP違反を同時に再現できるか。
• RQ2 同じ $\tau$ が、特にPMNS行列における大きな混合角およびCP違反を再現できるか。
• RQ3 共通の $\tau$ フレームワーク下で許容されるニュートリノ質量の和 $\Sigma m_\nu$ の最小値は何か。また、これはニュートリノ質量順序にどのような制約を課えるか。
• RQ4 モデルが質量行列に残り対称性 $\mathbb{Z}_2^S = \{I, S\}$ を予測するか。また、この対称性は観測されたフレーバー混合と整合性を持つか。
• RQ5 $\tau$ に依存するPMNS行列のCP違反を示すディラック位相 $\delta^\ell_{\text{CP}}$ はどのように変化するか。T2KおよびNOvAのデータと整合性があるか。

主な発見

• モジュラス $\tau$ は $SL(2,\mathbb{Z})$ の固定点である $i$ に近く、CP違反が自然に抑制される。観測されたCP違反は、$\tau = i$ からの微小なずれに起因する。
• 重み 2, 4, 6 のモジュラー形式から構築されたクォーク質量行列は、$\tau \approx i$ において、観測されたCKM混合角およびCP違反をうまく再現できる。
• 重み 2, 4, 6 のモジュラー形式を用いて構築された電荷レプトン質量行列は、$\tau \approx i$ の下で5つの妥当なケースを示し、いずれも観測されたレプトン混合角と整合する。
• 重み 4 のモジュラー形式を用いたウィーンバーグ作用素により生成されたニュートリノ質量行列は、$\tau \approx i$ において正のニュートリノ質量順序（NH）の下でPMNS混合角およびCP位相を再現できる。
• 電荷レプトン質量行列の5つのケースすべてにおいて、クォークおよびレプトンの $\tau$ 允許領域が重なり、共通の $\tau$ の整合性が裏付けられる。
• 共通の $\tau$ におけるニュートリノ質量の和 $\Sigma m_\nu$ の最小値は140 meVであり、逆順序（IH）はこのフレームワークにおいて強く排除される。