[論文レビュー] Quasi-Hamiltonian Geometry of Meromorphic Connections

Philip Boalch|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、単一の極次数 k ≥ 2 をもつ円板上の主 G バンドル上のフレーム付きの有理型接続のモジュライ空間として生じる、G-値のモーメント写像をもつ新しい複素の準ハミルトニアン G-空間の族を導入する。主な貢献は、任意の genus のリーマン面における有理型接続のモノドロミー／ストークスデータ空間へのシンプレクティック構造の有限次元的構成であり、これら新しい基本的構成要素の融合を通じて行われ、等モノドロミー的変形のシンプレクティック性に対する新しい証明が与えられる。

ABSTRACT

For each connected complex reductive group G, we find a family of new examples of complex quasi-Hamiltonian G-spaces with G-valued moment maps. These spaces arise naturally as moduli spaces of (suitably framed) meromorphic connections on principal G-bundles over a disc, and they generalise the conjugacy class example of Alekseev, Malkin and Meinrenken (which appears in the simple pole case). Using the `fusion product' in the theory this gives a finite dimensional construction of the natural symplectic structures on the spaces of monodromy/Stokes data of meromorphic connections over arbitrary genus Riemann surfaces, together with a new proof of the symplectic nature of isomonodromic deformations of such connections.

研究の動機と目的

• リーマン面上の高次極をもつ有理型接続のための有限次元的シンプレクティックモジュライ空間を構成すること。
• 共轭類や二重 D を超えて、極次数 k でパrameter化された新しい基本的構成要素を含む、準ハミルトニアン枠組みの一般化。
• 融合と還元を用いた有限次元的証明により、等モノドロミー的変形のシンプレクティック性を示すこと。
• 新しい準ハミルトニアン空間と不規則特異点をもつ有理型接続のモジュライとの間の幾何的関係を確立すること。
• 準ハミルトニアン幾何とストークスデータを用いて、特異接続に対するアティヤ＝ボットのアプローチを拡張すること。

提案手法

• 各 k ≥ 2 に対して、G を複素再帰的群とするとき、$\widetilde{\mathcal{C}} = G \times (U_+ \times U_-)^{k-1} \times \mathfrak{t}$ なる G×T-空間を構成する。
• G×T の作用を $ (g,t) \cdot (C, S_1, \dots, S_{2k-2}, \Lambda) = (t C g^{-1}, t S_1 t^{-1}, \dots, t S_{2k-2} t^{-1}, \Lambda) $ により定義する。
• G×T-値のモーメント写像 $ (\mu, e^{-2\pi i \Lambda}) $ を、$ \mu(C, \mathbf{S}, \Lambda) = C^{-1} S_{2k-2} \cdots S_1 e^{2\pi i \Lambda} C $ により導入する。
• 写像 $ D_j, E_j $ を用いた左不変形式の引き戻しにより、$\widetilde{\mathcal{C}}$ 上の閉で G×T-不変な2形式 $ \omega $ を導出する。ここで $ \epsilon = e^{\pi i \Lambda / (k-1)} $ である。
• $\widetilde{\mathcal{C}}$ を T で還元し、$ \mathcal{C} = \widetilde{\mathcal{C}}|_{\Lambda} / T \cong (G \times (U_+ \times U_-)^{k-1}) / T $ なる準ハミルトニアン G-空間を得る。
• 準ハミルトニアン枠組みにおける融合と還元を用いて、任意の genus のリーマン面上の有理型接続のモノドロミー／ストークスデータのシンプレクティックモジュライ空間を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして準ハミルトニアン幾何を拡張し、高次極をもつ有理型接続のためのシンプレクティックモジュライ空間を構成できるか？
• RQ2 不規則特異接続のための準ハミルトニアン枠組みにおける自然な基本的構成要素とは何か？
• RQ3 有理型接続のストークスデータ空間上のシンプレクティック構造を有限的かつ代数的に構成できるか？
• RQ4 準ハミルトニアン還元手続きは、不規則接続のリーマン＝ヒルベルト対応とどのように関係するか？
• RQ5 単一の極次数 k ≥ 2 をもつ円板上のフレーム付き有理型接続のモジュライ空間の幾何的および代数的構造は何か？

主な発見

• 各 k ≥ 2 に対して、空間 $\widetilde{\mathcal{C}} = G \times (U_+ \times U_-)^{k-1} \times \mathfrak{t}$ は G×T-値のモーメント写像をもつ複素の準ハミルトニアン G×T-空間である。
• 還元空間 $\mathcal{C} = \widetilde{\mathcal{C}}|_{\Lambda} / T $ は複素の準ハミルトニアン G-空間であり、モジュライ空間を構成するための新しい基本的構成要素を提供する。
• $\widetilde{\mathcal{C}} $ 上の2形式 $ \omega $ は閉かつ G×T-不変であり、写像 $ D_j, E_j $ 沿いの左不変形式の引き戻しにより定義され、準ハミルトニアン条件を満たす。
• k=2 の場合、$\widetilde{\mathcal{C}} \cong G \times G^* $ であり、ここで $ G^* $ は G のポワンソ・リー双対である。さらに、$ \widetilde{\mathcal{C}}/G $ 上に誘導されるポワンソ構造は、$ G^* $ 上の標準ポワンソ構造と一致する。
• k=2 の場合の加法的類似物は余接 bundle $ T^*G $ であり、この構成が古典的幾何的力学と関連している。
• 本構成により、任意の genus のリーマン面上の有理型接続の等モノドロミー的変形のシンプレクティック性を、有限次元的かつ代数的に証明できる。