[論文レビュー] Quasi-invariant gaussian measures for one dimensional Hamiltonian PDE's

Nikolay Tzvetkov|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 20被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、高階のソボレフ空間にサポートされたガウス測度が、1次元ハミルトニアンPDEの流れにおける準不変性を確立する。特に一般化されたベンジャミン＝ボナ＝マホニー（BBM）方程式を対象とし、高階の擬似エネルギー推定とキャメロン＝マーチン型の議論を組み合わせることで、高階保存則が存在しない状況下でも、これらの測度が準不変のままであることを証明する。これは、KdV方程式やベンジャミン＝オノ方程式に依存する既知の結果を越えて、新たな枠組みを提供する。

ABSTRACT

We prove the quasi-invariance of gaussian measures (supported by functions of increasing Sobolev regularity) under the flow of one dimensional Hamiltonian PDE's such as the regularized long wave (BBM) equation.

研究の動機と目的

• ハミルトニアンPDEの流れにおける高ソボレフ正則性を持つガウス測度の輸送を調査すること、特に高階保存則が存在しない場合を対象とする。
• KdV方程式やベンジャミン＝オノ方程式に依存する特別な保存則に依存する既存の準不変性理論を、それらを超えて拡張すること。
• 分散正則化と弱い非線形性を有する一般化されたBBM型方程式の挙動を分析すること。
• 高正則性ソボレフ空間上のガウス測度が、このような流れ下でも準不変のままであるかどうかを特定すること。
• 強い保存則が存在しない状況下で、既存の準不変性技法の限界を探索すること。

提案手法

• 遅い振動と弱い非線形性を有する1次元ハミルトニアンPDEをモデル化するため、パrameter化された分散を有する一般化されたBBM方程式を用いる。
• 零平均を持つガウス測度 μ_s をソボレフ空間 H^s 上に定義し、|n|^{-(s+γ/2)} の減衰を有する確率的フーリエ級数を用いて構成する。
• 解の正則性を制御し、C(R; H^σ) 上での大域的存在を保証するために、高階の擬似エネルギー推定を適用する（σ ≥ γ/2）。
• 準不変性問題を、非線形流れによって誘発されるシフトのキャメロン＝マーチン性の分析に還元する。
• バナッハ＝スタインハウスの定理または明示的構成を用いて、H^{s+γ/2} 内の方向 k を特定する。このとき、シフト f(t) がキャメロン＝マーチン空間に属さないことを示す。
• ガウス係数の直交性を用いて、シフトがキャメロン＝マーチン空間の外にある場合、像測度が元の測度に対して特異的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高正則性ソボレフ空間にサポートされたガウス測度が、高階保存則を欠くハミルトニアンPDEの流れ下でも準不変のままである可能性は？
• RQ2 分散および非線形性にどのような条件が要求されると、強い事前境界が存在しない状況下でも測度の準不変性が保たれるか？
• RQ3 1次元ハミルトニアンPDEにおける線形分散と非線形スムージングの相乗作用が、ガウス測度の輸送にどのように影響するか？
• RQ4 非線形変換がアフィン変換でない場合、キャメロン＝マーチン議論をどの程度まで適応可能にすることができるか？
• RQ5 準不変性の結果は、クライン＝ゴルドン方程式や2次元モデルなどの他のハミルトニアンPDEへ拡張可能か？

主な発見

• 一般化されたBBM方程式 (1.4) の流れは、σ ≥ γ/2 および γ > 1 の場合、H^σ において大域的によく定義されており、ソボレフ空間上に連続的な力学系を形成する。
• s ≥ 1 の場合、H^s 上のガウス測度 μ_s は、γ > 1 のとき、一般化されたBBM方程式の流れ下で準不変である。
• シフト f(t) がキャメロン＝マーチン空間 H^{s+γ/2} の外にある場合、流れ下の像測度は元の測度に対して特異的である。
• この特異性は、t ≠ 0 のとき f(t) ∉ H^{s+γ/2} であることを示すことによって確立され、ある方向 k が存在して、内積 ∑|n|^{2(s+γ/2)} ŝf(t)(n) ̄k̂(n) が発散することを示す。
• 証明は、ガウス級数 ∑|n|^{s+γ/2} g_n(ω) ̄k̂(n) がほとんど確実に有限であるのに対し、シフト変数はこの条件を満たさないという事実に依拠している。
• この結果は、高階保存則が存在しない状況下でも、非線形性および分散が十分に正則化的である限り、準不変性が成立することを示している。