[論文レビュー] Quasi-invariant means and Zimmer amenability

Gábor Elek, Ádám Timár|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、群作用下での可算集合上における準不変平均の存在について、重み付きFølner列を用いて必要十分条件を確立する。重み付き超有限性を導入し、Zimmerのアメニタリティを示す幾何的基準とし、アメニタリティ群および有限漸近次元群が重み付き超有限であることを示し、バランスの取れた重み関数を用いて原子のない不変測度の存在を証明する。

ABSTRACT

Let $Γ$ be a countable group acting on a countable set $X$ by permutations. We give a necessary and sufficient condition for the action to have a quasi-invariant mean with a given cocycle. This can be viewed as a combinatorial analogue of the condition for the existence of a quasi-invariant measure in the Borel case given by Miller. Then we show a geometric condition that guarantees that the corresponding action on the Stone-Čech compactification is Zimmer amenable. The geometric condition (weighted hyperfiniteness) resembles Property A. We do not know the exact relation between the two notions, however, we can show that amenable groups and groups of finite asymptotic dimension are weighted hyperfinite.

研究の動機と目的

• 可算Γ-集合上における$w$-不変平均の存在について、必要十分条件を提供すること。
• 重み付き超有限性の概念をグラフおよび群において定義し、Property Aの幾何的類似物として研究すること。
• Stone-Čechコンactification上での作用の文脈において、重み付き超有限性とZimmerアメニタリティの関係を確立すること。
• アメニタリティ群および有限漸近次元群が重み付き超有限であることを示すこと。
• 非アメニタリティ群上に、関連する$\beta\Gamma$上の測度が原子を持たないようなバランスの取れた重み関数$w$を構成すること。

提案手法

• 群$\Gamma$と部分集合$A \subseteq X$に対して、$\mu(gA) = \int_A \frac{w(gx)}{w(x)} \, d\mu(x)$を満たす積分条件により$w$-不変平均を定義する。
• 古典的Følner列の一般化として、$w$-Følner列を定義し、十分大きな$n$に対して$\frac{\sum_{x \in gF_n \cup F_n} w(x)}{\sum_{x \in F_n} w(x)} < 1 + \epsilon$を満たすようにする。
• グラフにおける重み付き超有限性を定義する：任意の$\epsilon > 0$に対して、任意の有限誘導部分グラフが、重みが小さく、連結成分のサイズが有界な$(w,\epsilon)$-分離集合を含むこと。
• 重み付き超有限性が準等長写像に関して不変であることを証明し、重み付き超有限群を定義可能にする。
• Cayleyグラフにおける頂点を互いに素な球体として構成し、$w$-Følner列が存在するようなバランスの取れた重み関数$w$を定義する。
• 大きな球体を測度が小さい部分に分割することで、$\beta\Gamma$上の関連する測度$\widetilde{\mu}_{F,\omega}$が原子を持たないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算Γ-集合上における$w$-不変平均の存在について、必要十分条件は何か？
• RQ2 重み付き超有限性はProperty AおよびZimmerアメニタリティとどのように関係するか？
• RQ3 どの群が重み付き超有限であるか？また、アメニタリティおよび漸近次元とどのように関係するか？
• RQ4 非アメニタリティ群上に、関連する$\beta\Gamma$上の測度が原子を持たないようなバランスの取れた重み関数を構成できるか？
• RQ5 重み付きFølner列の存在は、$w$-不変平均の存在と同値か？

主な発見

• 可算Γ-集合上における$w$-不変平均の存在は、$w$-Følner列の存在と同値である。
• 重み付き超有限性は、Stone-Čechコンactification $\beta\Gamma$上での作用に対してZimmerアメニタリティを示す。
• アメニタリティ群および有限漸近次元群は重み付き超有限である。
• 任意の有限生成非アメニタリティ群に対して、$w$-Følner列が存在し、関連する$\beta\Gamma$上の測度が原子を持たないようなバランスの取れた重み関数$w$が存在する。
• $\beta\Gamma$が任意に小さな測度のBorel集合に分割可能であるため、$\beta\Gamma$上の測度$\widetilde{\mu}_{F,\omega}$は原子を持たない。
• 互いに素な球体における同心球体を用いた$w$の構成により、バランスの取れと$w$-Følner性の両方が保証される。