[論文レビュー] Quasi-isometry classification of certain right-angled Coxeter groups

Pallavi Dani, Anne Thomas|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、三角形を含まず、1末端である定義グラフ Γ を持つ右側角コクセター群 WΓ を、2末端部分群への分解と JSJ 分解を用いて、等長写像の意味で分類する。Γ が一般化 Θ 図形である場合、双曲的 WΓ に対して完全な等長写像分類を提供し、一部の群が等長写像的ではあるが共役でないことを示し、Crisp–Paoluzzi の先行する共役性結果を拡張する。

ABSTRACT

Abstract. We investigate the quasi-isometry classification of the right-angled Coxeter groups WΓ which are 1-ended and have triangle-free defining graph Γ. We begin by char-acterising those WΓ which split over 2-ended subgroups, and those which are cocompact Fuchsian, in terms of properties of Γ. This allows us to apply a theorem of Papasoglu [21] to distinguish several quasi-isometry classes. We then carry out a complete quasi-isometry clas-sification of the hyperbolic WΓ with Γ a generalised Θ graph. For this we use Bowditch’s JSJ tree [8] and the quasi-isometries of “fattened trees ” introduced by Behrstock–Neumann [5]. Combined with a commensurability classification due to Crisp–Paoluzzi [11], it follows that there are right-angled Coxeter groups which are quasi-isometric but not commensurable. Finally, we generalise the work of Crisp–Paoluzzi [11]. 1.

研究の動機と目的

• 定義グラフ Γ の性質を用いて、WΓ が2末端部分群へ分解する条件を特徴付けること。
• Γ のグラフ論的性質を用いて、WΓ が共通コンpact Fuchsian 群である条件を特定すること。
• Papasoglu の定理を応用し、双曲的 WΓ 間の複数の等長写像類を区別すること。
• Γ が一般化 Θ 図形である場合、双曲的 WΓ に対して完全な等長写像分類を達成すること。
• Crisp–Paoluzzi の共役性に関する結果を一般化し、等長写像的ではあるが共役でない右側角コクセター群を示すこと。

提案手法

• Γ におけるグラフ論的条件を用いて、WΓ が2末端部分群へ分解する条件を特定する。
• Papasoglu の定理（等長写像分類）を応用し、分解に基づいて類を区別する。
• Bowditch の JSJ 樹分解を用いて、一般化 Θ 図形を持つ双曲的 WΓ の構造を分析する。
• Behrstock–Neumann が導入した「太った木」の等長写像を用いて、幾何的構造を比較する。
• 幾何的分類を Crisp–Paoluzzi の共役性結果と組み合わせ、等長写像類と共役類を比較する。
• Crisp–Paoluzzi の枠組みを一般化し、既知の等長写像および共役関係の範囲を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三角形を含まず1末端である Γ を持つ右側角コクセター群 WΓ で、2末端部分群へ分解するものはどれであり、その特徴は Γ のどの性質によって記述できるか？
• RQ2 Γ にどのような条件が成立すれば、WΓ が共通コンpact Fuchsian 群となるか？
• RQ3 Γ が一般化 Θ 図形である場合、Bowditch の JSJ 樹と太った木の理論をどのように用いて、双曲的 WΓ の等長写像型を分類できるか？
• RQ4 等長写像的ではあるが共役でない右側角コクセター群は存在するか？もしあるならば、どのようにしてそれを示せるか？
• RQ5 Crisp–Paoluzzi の共役性に関する結果を、等長写像分類の文脈でどの程度一般化できるか？

主な発見

• 本稿は、定義グラフ Γ が一般化 Θ 図形である場合、双曲的右側角コクセター群 WΓ に対して完全な等長写像分類を提供する。
• 等長写像的ではあるが共役でない右側角コクセター群が存在することを確立し、幾何的群論における重要な問いに答えを提示する。
• 分類は JSJ 分解と太った木の等長写像の組み合わせに依拠しており、このクラスの群へ幾何的手法の適用範囲を拡張する。
• Crisp–Paoluzzi の先行研究を一般化し、共役性分類を等長写像的差異の観点から拡張する。
• 2末端部分群への分解および共通コンpact Fuchsian 構造の特徴は、すべて定義グラフ Γ の組合せ的性質によって完全に決定される。
• Papasoglu の定理の使用により、Γ から導かれる WΓ の構造的特徴に基づいて、複数の等長写像類を区別できる。