[論文レビュー] Quasi-local Algebras and Asymptotic Expanders

Kang Li, Piotr W. Nowak+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2019

Advanced Operator Algebra Research参考文献 37被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、拡張子の一般化である漸近的拡張子—有界幾何の距離空間の有限列—を導入し、一様 Roe代数と一様擬局所代数の区別にその役割を確立する。平均化射影 $ P_X $ が粗い直和 $ X = \bigsqcup X_n $ 上で一様擬局所代数に属するための必要十分条件として、その列 $ \{X_n\} $ が漸近的拡張子であること、およびそのような代数が核となるのは、底辺の空間に Property A があるときであることを証明する。

ABSTRACT

In this paper, we study the relation between the uniform Roe algebra and the uniform quasi-local algebra associated to a metric space of bounded geometry. In the process, we introduce a weakening of the notion of expanders, called asymptotic expanders. We show that being a sequence of asymptotic expanders is a coarse property under certain connectedness condition, and it implies non-uniformly local amenability. Moreover, we also analyse some $C^*$-algebraic properties of uniform quasi-local algebras. In particular, we show that a uniform quasi-local algebra is nuclear if and only if the underlying metric space has Property A.

研究の動機と目的

• 有界幾何をもつ距離空間上における一様 Roe代数と一様擬局所代数の構造的差異を理解すること。
• 特に平均化射影 $ P_X $ を通じて $ C^{*}_{u}(X) = C^{*}_{uq}(X) $ の等号が成立しない障害を同定すること。
• 拡張子の一般化として、粗い幾何的剛性を完全な拡張性なしに捉える新しいクラスの漸近的拡張子を導入し、その性質を研究すること。
• 一様擬局所代数の $ C^* $-代数的性質、特に核性と Cartan 部分代数の構造を分析すること。
• 粗い幾何、擬局所性、ヒルベルト空間への埋め込みの間の相互作用を調査すること。

提案手法

• 任意の $ \alpha > 0 $ に対して、$ c \in (0,1) $、$ R > 0 $ が存在し、すべての $ A \subseteq X_n $ に対して $ \alpha|X_n| \leq |A| \leq |X_n|/2 $ ならば $ |\partial_R A| > c|A| $ が成り立つという一様等周的条件により、漸近的拡張子を定義する。
• 粗い直和 $ X = \bigsqcup X_n $ 上の平均化射影 $ P_X $ が擬局所的であるための必要十分条件として、列 $ \{X_n\} $ が漸近的拡張子の列であること、を証明する。
• $ \ell^\infty(X) $ が $ \mathfrak{B}(\ell^2(X)) $ 内の正規化子を用いて $ C^{*}_{uq}(X) $ の元を特徴づけ、これが $ C^{*}_{u}(X) $ 内の正規化子と一致することを示す。
• 核性の特徴づけを漸近的拡張子と擬局所性を用いて行い、$ C^{*}_{uq}(X) $ が核であるための必要十分条件として、$ X $ が Property A を持つことであることを確立する。
• $ \ell^\infty(X) \subseteq C^{*}_{uq}(X) $ の Cartan 組合せ構造を分析し、正規化子の生成によって Cartan の包含関係が成立することを証明する。
• Finn-Sell らの結果を応用し、$ X $ がヒルベルト空間に粗く埋め込めるならば $ P_X \notin C^{*}_{u}(X) $ であることを示し、$ X $ が漸近的拡張子の粗い直和で $ P_X \in C^{*}_{uq}(X) $ ならば $ C^{*}_{u}(X) \subsetneq C^{*}_{uq}(X) $ であることを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 粗い直和 $ X = \bigsqcup X_n $ 上の平均化射影 $ P_X $ が一様擬局所代数 $ C^{*}_{uq}(X) $ に属するのはいつか？
• RQ2 漸近的拡張子の列はヒルベルト空間に粗く埋め込めるか？ その場合、包含関係 $ C^{*}_{u}(X) \subseteq C^{*}_{uq}(X) $ にどのような意味があるか？
• RQ3 一様擬局所代数 $ C^{*}_{uq}(X) $ が核であるための必要十分条件は、底辺の空間 $ X $ が Property A を持つことか？
• RQ4 $ \ell^\infty(X) \subseteq C^{*}_{uq}(X) $ の Cartan 組合せ構造が成立するか？ また、その構造は $ C^{*}_{uq}(X) $ の代数的生成にどのような意味を持つのか？
• RQ5 $ C^{*}_{u}(X) \subsetneq C^{*}_{uq}(X) $ を満たす空間 $ X $ がヒルベルト空間に粗く埋め込めるか？ その場合、粗い Baum-Connes 猜想にどのような影響があるか？

主な発見

• 粗い直和 $ X = \bigsqcup X_n $ 上の平均化射影 $ P_X $ が擬局所的であるための必要十分条件は、列 $ \{X_n\} $ が漸近的拡張子の列であることである。
• 漸近的拡張子は、標準的な拡張子よりも厳密に一般である。これは、漸近的条件を満たすが標準的拡張子の条件を満たさない列の構成により示される。
• 連結で有界次数を持つグラフの場合、漸近的拡張子の列は粗い同値関係に関して不変である。
• 漸近的拡張子の列は、一様局所アーベル性と矛盾するため、アーベル性の粗い幾何的障害を示している。
• 一様擬局所代数 $ C^{*}_{uq}(X) $ が核であるための必要十分条件は、底辺の距離空間 $ X $ が Property A を持つことである。
• もし $ X $ が漸近的拡張子の粗い直和であり、$ C^{*}_{u}(X) = C^{*}_{uq}(X) $ ならば、$ X $ はいかなるヒルベルト空間にも粗く埋め込めない。なぜなら、$ P_X \in C^{*}_{u}(X) $ ならば、そのような Roe 代数に非コンパクトなゴースト射影が存在しないことと矛盾するからである。